一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知在平面直角坐标系中，点A?3,0?,B??3,0?,C??3,8?，以线段BC为直径作圆，
圆心为E，直线AC交（1）求证：直线OD是
E于点D，连接OD. E的切线；
E于点G，连接BG：
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交①当tan?ACF?②求
1时，求所有F点的坐标 （直接写出）； 7BG的最大值. CFBG1?43?,0?，F2(5,0)；② 的最大值为.
2CF?31?【答案】（1）见解析；（2）①F1?【解析】 【分析】
（1）连接DE，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“F位于AB上”和“F位于BA的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM?BC于点M，证明?ANF1~?ABC，得【详解】
（1）证明：连接DE，则：
BG1?，从而得解. CF2
∵BC为直径 ∴?BDC?90? ∴?BDA?90? ∵OA?OB ∴OD?OB?OA ∴?OBD??ODB
EB?ED
∴?EBD??EDB
∵
∴?EBD??OBD??EDB??ODB 即：?EBO??EDO ∵CB?x轴 ∴?EBO?90? ∴?EDO?90? ∴直线OD为
E的切线.
（2）①如图1，当F位于AB上时： ∵?ANF1~?ABC
ANNF1AF1?? ABBCAC∴设AN?3x，则NF1?4x,AF1?5x
∴
∴CN?CA?AN?10?3x ∴tan?ACF?∴AF1?5x?F1N4x110??，解得：x? CN10?3x73150 315043OF1?3??
3131?43?,0? ?31?即F1?
如图2，当F位于BA的延长线上时： ∵?AMF2~?ABC
∴设AM?3x，则MF2?4x,AF2?5x ∴CM?CA?AM?10?3x ∴tan?ACF?解得：x?F2M4x1?? CM10?3x72 5∴AF2?5x?2
OF2?3?2?5
即F2(5,0)
②如图，作GM?BC于点M， ∵BC是直径
∴?CGB??CBF?90? ∴?CBF~?CGB
BGMGMG?? CFBC8∵MG?半径?4
∴
BGMG41??? CF882BG1∴的最大值为.
2CF∴
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
2．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC． (1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由； (2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求
的长.
图1 图2
【答案】（1）BE=\；理由见解析 （2）证明见解析 （3）
=2π
【解析】
试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明
（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到
所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题解析：（1）BE=FH．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90°， ∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF=\\且∠BAE+∠AEB=90° ∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF ∴△ABE≌△EHF（SAS） ∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE=\ ∴CH=FH
∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45° ∵AC是正方形对角线，∴ ∠ACD=45° ∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°
过E作EN⊥AC于点N
Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt△ENA中，EN =∴∠EAC=30° ∴AE=
又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）
= EF，∴AF=8
Rt△AFE中，AE=
AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90° =2π·4·（90°÷360°）=2π
考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数
3．已知：△ABC内接于⊙O，D是弧BC上一点，OD⊥BC，垂足为H． （1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=
，BN=
，tan∠ABC=
，求BF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24. 【解析】
试题分析：（1）易证OH为△ABC的中位线，可得AC=2OH；（2）∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，又∵∠PAC =∠BCD，可证∠ACD=∠APB；（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，连接OB，易证∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ.在Rt△BNQ中，根据tan∠ABC=
，可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI
人教备战中考数学二轮 锐角三角函数 专项培优含答案
