模型21 单杆切割（原卷版）
导体切割磁感线产生的感应电动势
(1)导体切割磁感线产生的感应电动势:①当导体棒垂直于磁场运动,B、l、v两两垂直时,E=Blv。②当导
线的运动方向与导线本身垂直,但与磁感线方向夹角为θ时,E=Blvsin θ。
(2)用公式E=计算的感应电动势是平均电动势,只有在电动势不随时间变化的情况下平均电动势才等于瞬时电动势。用公式E=BLv计算电动势时,如果v是瞬时速度,那么电动势是瞬时值;如果v是平均速度,那么电动势是平均值。
(3)公式E=是计算感应电动势的普遍适用的公式,公式E=BLv则是E=的一个特例。公式E=BLv成立的条件是L、v、B三者两两垂直。如果不是两两垂直,那么L取导线在垂直于B方向的有效长度,v取垂直于B方向的分速度。
(4)E=是求整个回路的总电动势,并且求出的是Δt时间内的平均感应电动势,而公式E=BLv求出的只是切割磁感线的那部分导体中的感应电动势,不一定是回路中的总感应电动势,并且它一般用于求某一时刻的瞬时感应电动势。
【典例1】如图，一直导体棒质量为m、长为l、电阻为r，其两端放在位于水平面内间距也为l的光滑平行导轨上，并与之密接；棒左侧两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画出）；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨所在平面。开始时，给导体棒一个平行于导轨的初速度v0。在棒的运动速度由v0减小至v1的过程中，通过控制负载电阻的阻值使棒中的电流强度I保持恒定。导体棒一直在磁场中运动。若不计导轨电阻，求此过程中导体棒上感应动势的平均值和负载电阻上消耗的平均功率。
【变式训练1】如图，两根相距L＝0.4m、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R＝0.15Ω
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的电阻相连。导轨x＞0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率k＝0.5T/m，x＝0处磁场的磁感应强度B0＝0.5T。一根质量m＝0.1kg、电阻r＝0.05Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。棒在外力作用下从x＝0处以初速度v0＝2m/s沿导轨向右运动，运动过程中电阻上消耗的功率不变。求： (1)电路中的电流；
(2)金属棒在x＝2m处的速度；
(3)金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中安培力做功的大小； (4)金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中外力的平均功率。
【典例2】如图，水平面内有一光滑金属导轨，其MN、PQ边的电阻不计，MP边的电阻阻值R=1.5?, MN与MP的夹角为1350, PQ与MP垂直，MP边长度小于1m。将质量m=2kg，电阻不计的足够长直导体棒搁在导轨上，并与MP平行。棒与MN、PQ交点G、 H间的距离L=4m。空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T。在外力作用下，棒由GH处以一定的初速度向左做直线运动，运动时回路中的电流强度始终与初始时的电流强度相等。
(1)若初速度v1=3m/s,求棒在GH处所受的安培力大小FA.
(2)若初速度v2=1.5m/s,求棒向左移动距离2m到达EF所需时间?t。
(3)在棒由GH处向左移动2m到达EF处的过程中，外力做功W=7J，求初速度v3。
【变式训练2】电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=1.15m，两导轨间距L=0.75 m，导轨倾角为30°，导轨上
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端ab接一阻值R=1.5Ω的电阻，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场垂直轨道平面向上。阻值r=0.5Ω，质量m=0.2kg的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳
2热Qr?0.1J。(取g?10m/s)求：
(1)金属棒在此过程中克服安培力的功W安； (2)金属棒下滑速度v?2m/s时的加速度a．
(3)为求金属棒下滑的最大速度vm，有同学解答如下：由动能定理W重-W安=1mvm2，……。由此所得结果2是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答。
【典例3】如图甲所示,空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=0.5 T的匀强磁场,有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内,间距L=0.2 m,左端连接阻值R=0.4 Ω的电阻。质量m=0.1 kg的导体棒cd垂直跨接在导轨上,与导轨间的动摩擦因数μ=0.2。从t=0时刻开始,通过一小型电动机对导体棒施加一个水平向右的牵引力F,使导体棒从静止开始沿导轨方向做加速运动,此过程中导体棒始终保持与导轨垂直且接触良好。除R以外其余部分的电阻均不计,取重力加速度大小g=10 m/s2。
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(1)若电动机保持恒定功率输出,导体棒的v-t图象如图乙所示(其中OC是曲线,CD是水平直线),已知0~10 s内,电阻R产生的热量Q=28 J,求:
①导体棒达到最大速度vm时牵引力F的大小。 ②导体棒从静止开始至达到最大速度vm时的位移大小。
(2)若电动机保持恒定牵引力F=0.3 N ,且将电阻换为C=10 F的电容器(耐压值足够大),如图丙所示,求t=10 s时牵引力的功率。
【变式训练3】如图所示,绝缘水平面内固定有一间距d=1 m、电阻不计的足够长光滑矩形导轨AKDC,导轨两端接有阻值分别为R1=3 Ω和R2=6 Ω的定值电阻,矩形区域AKFE、NMCD范围内均有方向竖直向下、磁感应强度大小B=1 T的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ,一质量m=0.2 kg、电阻r=1 Ω的导体棒bc垂直放在导轨上AK与EF之间某处,在方向水平向右、大小F0=2 N的恒力作用下由静止开始运动,刚要到达EF时导体棒bc的速度大小v1=3 m/s,导体棒bc进入磁场Ⅱ后,导体棒bc中通过的电流始终保持不变,导体棒bc在运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好,空气阻力不计。
(1)求导体棒bc刚要到达EF时的加速度大小a1。 (2)求两磁场边界EF和MN之间的距离L。
【典例4】(2024广西南宁1月检测)如图甲所示,放置在水平桌面上的两条光滑导轨间的距离L=1 m,质量m=1 kg 的光滑导体棒放在导轨上,导轨左端与阻值R=4 Ω的电阻相连,导轨所在位置有磁感应强度大小B=2 T的匀强磁场,磁场的方向垂直导轨平面向下,现给导体棒施加一个水平向右的恒定拉力F,并每隔0.2 s测量一次导体棒的速度,图乙是根据所测数据描绘出的导体棒的v-t图象。设导轨足够长,求:
(1)力F的大小。
(2)t=1.6 s时,导体棒的加速度大小。
(3)若1.6 s内导体棒的位移x=8 m,试计算1.6 s内电阻产生的热量。
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【变式训练4】某同学设计了电磁健身器,简化装置如图所示。两根平行金属导轨相距l=0.50 m,倾角θ=53°,导轨上端接一个R=0.05 Ω的电阻。在导轨间长d=0.56 m的区域内,存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场,磁感应强度大小B=2.0 T。质量m=4.0 kg的金属棒CD水平置于导轨上,用绝缘绳索通过定滑轮与轻的拉杆GH相连,CD棒的初始位置与磁场区域的下边界相距s=0.24 m。一位健身者用F=80 N的恒力沿绳拉动GH杆,CD棒由静止开始运动,上升过程中CD棒始终与导轨垂直。当CD棒到达磁场上边界时健身者松手,触发恢复装置使CD棒回到初始位置。已知sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,重力加速度g=10 m/s2,不计其他电阻、摩擦力,以及拉杆和绳索的质量。
(1)求CD棒进入磁场时速度v的大小。
(2)通过数据计算,说明CD棒进入磁场后的运动情况。
(3)某健身者锻炼过程中,没有保持80 N的恒定拉力。若测出CD棒到达磁场上边缘时的速度为2 m/s,CD棒每次上升过程中,电阻产生的焦耳热Q=22.4 J,这位健身者为了消耗8000 J的热量,约需完成以上动作多少次?
【典例5】(2024河北保定期中)如图所示,两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一竖直面(纸面)内,其上端接一阻值为R的电阻;在两导轨间OO'下方区域内有垂直导轨平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。现使电阻为r、质量为m的金属棒ab由静止开始自OO'位置释放,向下运动距离d后速度不再变化。金属棒ab与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平,导轨电阻不计。重力加速度为g。
(1)求棒ab在向下运动距离d的过程中回路产生的总焦耳热。 (2)棒ab从静止释放经过时间t0下降了d,求此时刻的速度大小。
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模型21 单杆切割模型(原卷版)
