第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知M(－2，0)、N(2，0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是( ) A．双曲线 C．双曲线右边一支
B．双曲线左边一支 D．一条射线
解析：由双曲线的定义知动点P的轨迹是双曲线右支． 答案：C
2．设点P在双曲线－＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，
916则△F1PF2的周长等于( )
A．22 C．14
B．16 D．12
x2y2
解析：由双曲线定义知|PF2|－|PF1|＝6， 又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，由两式得|PF1|＝3， |PF2|＝9，进而易得周长为22. 答案：A
1
3．平面内动点P(x，y)与A(－2，0)，B(2，0)两点连线的斜率之积为，动点P的轨迹
4方程为( )
A.＋y＝1 4
C.＋y＝1(x≠±2) 4
x2x2
2
B.－y＝1 4D.－y＝1(x≠±2) 4
x2x2
2
22
1yy1
解析：依题意有kPA·kPB＝，即·＝(x≠±2)，
4x＋2x－24整理得－y＝1(x≠±2)．
4答案：D
x2
2
- 1 -
4．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
4m＋1A．－1
B．m>－1 D．m<－1
y2x2
解析：依题意应有m＋1>0，即m>－1. 答案：B
x2y2x2y2
5．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲
mnab线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a C．m－a
2
2
1
B.(m－a) 2D.m－a
解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2m.① 由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a.② ①－②得4|PF1|·|PF2|＝4(m－a)， 所以|PF1|·|PF2|＝m－a. 答案：A 二、填空题
6．已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6.则双曲线的标准方程为________．
解析：因为双曲线的焦点在y轴上，
2
2
y2x2
所以设它的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)．
ab因为2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5. 所以b＝5－3＝16.
所以所求双曲线标准方程为－＝1.
916答案：－＝1
916
7．在平面直角坐标系xOy中，方程取值范围为________．
解析：将方程化为即1 答案：(1，3) - 1 - 2 2 2 y2x2 y2x2 x2 k－1k－3 ＋y2 ＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的 x2 k－13－k－ y2 ＝1，若表示焦点在x轴上的双曲线，则有k－1>0且3－k>0， 8．若双曲线以椭圆标准方程为________． x2 16 ＋＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的9 y2 解析：椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a＝4，b＝3，c＝7，所以焦点为(±7，0)， 169左右顶点为(±4，0)．于是双曲线经过点(±7，0)，焦点为(±4，0)，则a′＝7，c′＝4，所以b′＝9，所以双曲线的标准方程为－＝1. 79 答案：－＝1 79三、解答题 9．双曲线C与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(15，4)． 2736(1)求双曲线C的方程； (2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2 的面积． 解：(1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)， 2 x2y2 x2y2 x2y2 x2y2 y2x2222 设双曲线的方程为2－2＝1，则a＋b＝3＝9.① ab又双曲线经过点(15，4)，所以 2 2 2 16 a215 －2＝1，② b解①②得a＝4，b＝5或a＝36，b＝－27(舍去)， 所以所求双曲线C的方程为－＝1. 45 (2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝5，C＝3. 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4， 平方得m－2mn＋n＝16.① 在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)＝m＋n－2mncos 120°＝m＋n＋mn＝36.② 20 由①②得mn＝， 3 153 所以△F1PF2的面积为S＝mnsin 120°＝. 23 10．如图，已知动圆M与圆C1：(x＋4)＋y＝2外切，与圆C2：(x－4)＋y＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y2x2 - 1 -
高中数学人教A版选修2-1习题：第二章2.3-2.3.1双曲线及其标准方程 Word版含答案
