2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第7章《立体几何》
（第5课时）（新人教A版）
一、选择题
1．(2013·北京海淀区期末)已知平面α、β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直
解析：选D.对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错；易知D正确．
2．(2012·高考浙江卷)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B.对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交，故选B.
3．(2013·洛阳统考)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β
解析：选C.对于选项A，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n或m，n是异面直线，所以A错误；对于选项B，n可能在平面α内，所以B错误；对于选项D，m与β的位置关系还可以是m?β，m∥β或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．
4．(2012·高考浙江卷)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
解析：选B.对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝2，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.
5．(2012·高考安徽卷)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若α⊥β，因为α∩β＝m，b?β，b⊥m，则根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a?α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.
二、填空题 6.
1
如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．
解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC； ∵AB⊥AC，AB⊥PC， ∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥AP.与AP垂直的直线是AB. 答案：AB，BC，AC AB
7．已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b. 其中正确命题的序号有________．
解析：垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也有可能成立，②错；a、b也可以异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确．
答案：①④ 8.
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD， 而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等) 三、解答题 9.
(2011·高考课标全国卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．
解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD.
222
所以BD＋AD＝AB，故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，所以BD⊥PD.
2
所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD. (2)
如图，作DE⊥PB，垂足为E. 已知PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC. 由(1)知BD⊥AD， 因为BC∥AD， 所以BC⊥BD.
所以BC⊥平面PBD，BC⊥DE.
则DE⊥平面PBC，即DE为棱锥D－PBC的高． 由PD＝AD＝1知BD＝3，PB＝2.
3
由DE·PB＝PD·BD得DE＝，
2所以棱锥D－PBC的高为10.
3. 2
(2012·高考安徽卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．
(1)证明：BD⊥EC1；
(2)如果AB＝2，AE＝2，OE⊥EC1，求AA1的长． 解：(1)证明：如图，连接AC，A1C1，相交于点O. 由底面是正方形知，BD⊥AC.
因为AA1⊥平面ABCD， BD?平面ABCD， 所以AA1⊥BD. 又由AA1∩AC＝A， 所以BD⊥平面AA1C1C.
再由EC1?平面AA1C1C知， BD⊥EC1.
(2)设AA1的长为h，连接OC1.
在Rt△OAE中，AE＝2，AO＝2，
3
高考数学一轮复习 第7章《立体几何》(第5课时)知识过关检测 理 新人教A版 (2)(1)
