第二十讲质数与合数
趣题引路】
由超级计算机运算得到的结果2対川3_1是一个质数，则泸9433+1是（）
A.质数 B.合数 C.奇合数 D.偶合数
解析 V2859433-l, 2溯33, 2*眇*33+1.是三个连续正整数，T2859433 — 1的末位数字是1. 285 I?上述三个数中一泄有一个能彼3整除，而2対\33一1是质数，.?.2劭9433+ 1的末位数字是奇数 且能被3整除，故2归《33+ 1是奇合数.故选C. 同学们，你们知道什么是“哥徳巴赫猜想”吗？二百多年前，徳国数学家哥徳巴赫发现：任一个不小 于6的偶数都可以写成两个奇质数之和.如6=3 + 3, 12=5+7等.对许多偶数进行检验，都说明这个猜 想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例.到目前最好的结论是我国数学家陈 景润证明的\， 即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结 论被命名为\陈氏定理”. 知识延伸】 1. 正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类： （1） 只有一个正约数的数，它只能是1： （2） 只有两个正约数的数，如2, 3, 11这样的数叫质数： （3） 有两个以上正约数的数，如4, 10, 12这样的数叫合数. 2. （1> 2是最小的质数，也是唯一的偶质数：除2以外，苴余的质数都是奇数。 （2）质数有无穷多：合数也有无穷多. 证明 假设只有有限多个质数,设为P2, P、，…,几考虑P1P2P3…几+1,由假设可知，PxPzPy- 几+1是合数，它一定有一个质因数P,显然，P不同于巴，Pi，A，…，P”，这与假设Pi，B，A，…， 几为全部质数矛盾. 3. 质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判左.如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43来除2003,它们都不能整除2003,而下一个质数47,它的 平方472 = 2209大于2003,由此就可判定2003为质数。 4. 算术基本定理 对于一合数，如果将它分解为若干质数的连乘积的形式，并不考虑质因数的排列顺序，那么这种分解 式将是唯一的，即正整数M>1）可以唯一表示为N = p「py… 其中，Pl, Pit…，Pm为质数,且Pl 5. 对于正整数N的质因数标准分解式N = PJPr…P/ 根据乘法原理，它的正约数个数为（1+山）（1+\）…（1+如）.它的所有约数之和为 S（N） = （1+R+…+厅）（1+￡ +…+冒）…（1+化+ --+瞭，） 门一 1 必一 1 几一 1 而且仅当/V为平方数时，它的正约数个数为奇数. 0 例1用正反向的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x (cm)规格的地砖，恰用“块：若选用 边长为y (cm)规格的地砖，则要比前一种刚好多用224块.已知X、y、“都是正整数，且(.r,y) = l.试问: 这块地有多少平方米？ 解析设这块地的而积为S,则Sn用=(” + 124))，,得?(x2-/) = 124/. x> y.(x,y) = \\:\\x2 -y\\ v2) = 1 得(x2 -/)|124. &+y = 31, < x + y = 2x 3L A- - y = 2. 解之得E—此时心笞= 9。。. /一〉ul; 故这块地的面积为 S = nx =900xl62 = 230400(cnr )=23.04(nr). 2点评虽然同一块地有不同的铺法，但是这块地的而积不变，利用面积不变建立x、y. n的等式，寻找解 题的突破口. 例2 “是质数，//+3仍是质数，求p5+3的值. 解析???\//+3>3 又p + 3为质数，.?.//+3必为奇数，???//必为偶数，:?p必为偶数. 乂 p 是质数，p=2. p5 +3=2' + 3=35. 点评本题利用了2是唯一的偶质数这一性质. 例3已知正整数\和q都是质数，且7\+彳与07 + 11也都是质数，试求P- + qP的值. 解析W + 11>11且凶+ 11是质数，+ 必为正奇质数，pg为偶数，而/八q均为质数，故p = 2或 (7 = 2 ? 当\时,有14 + q与2g + ll均为质数.当厂3R + 1(22)时，则14 + g = 3仏+5)不是质数： 当q = 3k + 2(“N)时，2g + ll=3(2R+5)不是质数，因此，q = 3k,且彳为质数，故§ = 3. 当“2时，有lp + q与2卩+ 11均为质数.当P = 3k + i(k>2)时，7\不是质数：当 \时，2“ + ll = 3(2k + 5)不是质数，因此，p = 3k ,当“为质数，故卩=3. 故 p。+7r=23 +32 =17. 点评在所有质数中2时唯一的偶质数，可知B/ + 11是奇质数，皿是偶数,进而可求卩或g,最终达到求 解的目的. 例4已知\和8於+1都是质数，求证：8p2-p + 2也是质数. 解析先研究\和8/F+1都是质数时，卩应满足的条件可先从最小的质数开始考察. 证明：若p = 2,贝Ij8/r+l = 33是合数； 0 若卩=3,贝Ij8/r+1 = 73是质数： 若p = 5,贝IJ8/ +1 = 201是合数： 若 P = 7 ,贝ij 8/r +1 = 393 是合数： 由此猜测：当\为大于3的质数时，8/r+1为合数.下而对这一猜测给岀证明. 若卩＞3,把\按3除的余数可分为3—1.3R,3k + l(“N)三类.由于”时质数，所以，\只能为形如弘±1 的数，则 8/r +1=8(3^±1)2 +1 = 3(24疋 ± \\6k + 3). 显然，8//+1是合数. 因此,满足条件的p = 3. 故当p = 3时，8/r-P + 2=71是质数. 点评本例的i正明是由具体数字着手讨论的，这种“归纳一一猜想一一证明”的方法在以后的学习中要经 常用到. 例5若“为自然数，“+ 3与“ + 7都是质数，求“除以3所得的余数. 解析 我们知道\除以3的余数只能为0、1. 2三种. 若余数为0,即“ = 3R (k是一个非负整数，下同)，贝!J” + 3 = 3R + 3 = 3(R + 1),所以3|“ + 3,又3工” + 3, 故〃 + 3不是质数，与题设矛盾. 若余数为2,即“ = 3R + 2,则“ + 7 = 3k + 2 + 7 = 3(k + 3),故3|“ + 7,” + 7不是质数，与题设矛盾.所以“除 以3所得的余数只能为1. 点评一个整数除以加以后，余数可能为0, 1,…，山-1,共m个，将整数按除以加所得的余数分类， 可以分成加类?如川=2时，余数只能为0与1,因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶 数：另一类是除以 2余数为1的整数，即奇数.同样，加=3时，就可以将整数分为三类，即除以3余数分 别为0、1、2这样的三 类.通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应用. 例6把一个两位质数接写在另一个与它不同的两位质数的右边，得到一个四位数.已知这个四位数恰能被 这两个质数之和的一半整除，试求岀所有这样的四位数. 解析设x =亦茴均为两位质数，且x = 依题意，四位数亦= 100.亦+石= lg2y,能被斗 乙 整除，则100x + y = /n (加为正整数),即198x = (加-2)(x+y). V W-2是整数，A(x + y)|198x 又(x,A + y) = (x,y) = l,事实上，两个不同的质数是互质的. ???(* +)，)| 198. ??? x和y是不同的两位质数，???x和y均为不小于11且不大于99的不同质数，二x + y应是小于24且不 大于196的偶数. 容易求得198的不小于24且不大于196的正偶约数只有66,把66分拆成两个不同的两位素数之和，有 0
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲质数与合数
