一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．
（1）求k的值；
（2）求经过A、C两点的直线的解析式； （3）连接OA、OC，求△OAC的面积． 【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm， ∴A的坐标是（2，3）， 代入y= 得3= ， 解得：k=6
（2）解：OD=2+2=4， 在y= 中令x=4，解得y= ． 则C的坐标是（4， ）． 设AC的解析式是y=mx+n，
根据题意得：
，
解得：
，
则直线AC的解析式是y=﹣ x+
（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB?AB= ×2×3=3；
直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD?CD= ×4× =3． 在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S ．
则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=
【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．
= （AB+DC）?BD= （3+ ）×2=
梯形ABDC
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把B（3，2）代入 ∴反比例函数解析式为： 把C（﹣1，n）代入 n=﹣6
∴C（﹣1，﹣6）
把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：
，解得：
得：k=6
，得：
所以一次函数解析式为y1=2x﹣4
（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．
（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形 如图，
过B作BP1⊥y轴于P1 ， ∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形 此时，P1（0，2） 过B作BP2⊥AB交y轴于P2 ∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形 在Rt△P1AB中，
在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB
∴
∴P2（0， ）
综上所述，P1（0，2）、P2（0， ）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．
3．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；
（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________． 【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上， ∴2×3n=（5n+2）×1=m， ∴n=2，m=12，
∴A（2，6），B（12，1），
∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点， ∴
，
解得
，
∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7． （2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，
由
．
，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，
由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0， 解得a=7±2
（3）（0，6）或（0，8）
【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），
由题意，PE=|m﹣7|． ∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，
∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5． ∴|m﹣7|=1． ∴m1=6，m2=8．
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）． 故答案为（0，6）或（0，8）．
【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.
4．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】（1）解：设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20， 把B（10，40）代入得，k1=2， ∴y1=2x+20．
设C、D所在双曲线的解析式为y2= ， 把C（25，40）代入得，k2=1000， ∴
当x1=5时，y1=2×5+20=30， 当 ∴y1＜y2
∴第30分钟注意力更集中．
，
人教备战中考数学复习《反比例函数》专项综合练习附答案
