∴△AMN是等边三角形．（7分） 设AD=a，则AB=2a． ∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE．
∵△ADE为等边三角形， ∴∠DEC=120°，∠ADE=60°， ∴∠EDC=∠ECD=30°， ∴∠ADC=90°．（8分）
∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°， ∴CD=
a．
∵N为DC中点， ∴DN=∴AN=
，
．（9分）
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形， ∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：（2a）2：（
）2=1：4： =4：16：7（10分）
解法二：△AMN是等边三角形．理由如下： ∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CD的中点， ∴AM=AN，NC=MB． ∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN， ∴∠MAB=∠NAC，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°， ∴△AMN是等边三角形，（7分）
设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a， 易证BE⊥AC， ∴BE=∴EM=
，
，
∴AM=，
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形， ∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：（2a）2：（
）2=1：4： =4：16：7．（10分）
【点评】此题考查了全等三角形的判定，等边三角形的性质，勾股定理及旋转的性质等知识的综合运用及推理论证能力．
27．BC=5cm．AC⊥AB．（2016秋?鼓楼区校级期末）已知，如图①，在?ABCD中，AB=3cm，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动．如图②，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥MN？
（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【考点】四边形综合题．
【分析】（1）先根据勾股定理求AC=4，根据平移的性质和平行四边形的性质得：PQ∥AB，列比例式为：
，代入可求t的值；
（2）作辅助线，构建高线，利用面积法求AE的长，利用勾股定理计算CE的长，证明△CPF∽△CAE，列式可表示PF的长，根据面积公式计算y与t之间的函数关系式；
（3）根据同底等高的两个三角形面积相等得：S△PQC=S△MQC，由已知得：S△MQC：S△ABC=1：5，把（2）中的式子代入可求t的值；
（4）如图2，证明△MQP∽△PFQ，列比例式可求得：PQ2=PM×FQ，由勾股定理相结合得：PF2+FQ2=PM×FQ，代入列方程可得结论．
【解答】（1）如图1，在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC=
=
=4，
由平移性质可得MN∥AB； ∵PQ∥MN， ∴PQ∥AB， ∴即解得t=
， ， ；
（2）如图2，作PF⊥BC于点F，AE⊥BC于点E， 由S△ABC=AB×AC=AE×BC可得×3×4=×5AE， ∴AE=
，
=
=
，
则由勾股定理得：CE=∵PF⊥BC，AE⊥BC， ∴AE∥PF， ∴△CPF∽△CAE， 所以即
==
==
， ， ，CF=
解得：PF=，
， =﹣
+
；
∵PM∥BC，所以M到BC的距离h=PF=所以，△QCM是面积y=CQ×h=×t×（3）∵PM∥BC， ∴S△PQC=S△MQC，
∵S△QMC：S四边形ABQP=1：4， ∴S△MQC：S△ABC=1：5， 则5（﹣t2﹣4t+4=0， 解得：t1=t2=2，
+
）=×4×3，
∴当t=2时，S△QMC：S四边形ABQP=1：4； （4）如图2，∵PQ⊥MQ， ∴∠MQP=∠PFQ=90°， ∵MP∥BC， ∴∠MPQ=∠PQF， ∴△MQP∽△PFQ， ∴
，
∴PQ2=PM×FQ， 即：PF2+FQ2=PM×FQ， 由CF=
，
，
=5×
，
∴FQ=CF﹣CQ=故
整理得2t2﹣3t=0，
解得t1=0（舍），t2=， 答：当t=时，PQ⊥MQ．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、平移、勾股定理、相似三角形的性质和判定，根据平移的特点，确定等量关系是关键，可以利用相似列等量关系，也可以利用已知面积的比列等量关系，解方程可以解决问题．
[好卷]2024-2024年福州市鼓楼区九年级上册期末数学模拟试卷（有答案）
