【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）把A和B的坐标代入函数解析式求得b和c的值，即可求得函数解析式； （2）在函数解析式中令=0即可求得C的坐标，然后利用配方法即可确定顶点坐标； （3）当y1＜y2时的范围就是当二次函数的图象在一次函数的图象的下边时对应的的范围，依据图象即可确定．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：．
2
则抛物线的解析式是y=﹣（2）在y=﹣
2
+﹣2；
+﹣2中令=0，则y=﹣2，
则C的坐标是（0，﹣2）． y=﹣
2
+﹣2=﹣（﹣）2+，
则抛物线的顶点坐标是（，）；
（3）当y1＜y2时，的取值范围是＜0或＞4．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及通过图象确定自变量的范围，考查了数形结合的思想．
24．（2016?成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE． （1）求证：△ABD∽△AEB； （2）当
=时，求tanE；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）要证明△ABD∽△AEB，已经有一组对应角是公共角，只需要再找出另一组对应角相等即可．
BC=4：3，BC=3，（2）由于AB：可设AB=4，求出AC的值，再利用（1）中结论可得AB2=AD?AE，进而求出AE的值，所以tanE=
=
．
（3）设AB=4，BC=3，由于已知AF的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出的值，即可知道半径3的值．
【解答】解：（1）∵∠ABC=90°， ∴∠ABD=90°﹣∠DBC， 由题意知：DE是直径， ∴∠DBE=90°， ∴∠E=90°﹣∠BDE， ∵BC=CD， ∴∠DBC=∠BDE， ∴∠ABD=∠E， ∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△AEB；
（2）∵AB：BC=4：3， ∴设AB=4，BC=3， ∴AC=∵BC=CD=3，
∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2， 由（1）可知：△ABD∽△AEB， ∴
=
=
，
=5，
∴AB2=AD?AE，
∴42=2AE， ∴AE=8， 在Rt△DBE中 tanE=
===；
（3）过点F作FM⊥AE于点M， ∵AB：BC=4：3， ∴设AB=4，BC=3，
∴由（2）可知；AE=8，AD=2， ∴DE=AE﹣AD=6， ∵AF平分∠BAC， ∴∴
==
， =，
∵tanE=， ∴cosE=∴
=
，sinE=， ，
， ，
，
∴BE=∴EF=BE=∴sinE=∴MF=
=，
∵tanE=， ∴ME=2MF=∴AM=AE﹣ME=∵AF2=AM2+MF2， ∴4=
+
， ，
，
∴=，
．
∴⊙C的半径为：3=
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起．
25．（2016秋?鼓楼区校级期末）如图为桥洞的形状，其正视图是由点为
和矩形ABCD构成．O
所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥
所在⊙O的半径DO．
弦CD于点F ）EF为2米．求
【考点】垂径定理的应用；矩形的性质．
【分析】先根据垂径定理求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论． 【解答】解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米， ∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，
在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5； 答：
所在⊙O的半径DO为5m．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，此类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
26．（2009?常德）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由． 【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质．
【分析】（1）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE． （2）可以证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，根据已知条件分别求得△AMN的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比． 【解答】解：（1）CD=BE．理由如下：（1分） ∵△ABC和△ADE为等边三角形， ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°， ∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC， ∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC， ∴∠BAE=∠DAC，
∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴CD=BE．
（2）△AMN是等边三角形．理由如下： ∵△ABE≌△ACD， ∴∠ABE=∠ACD
∵M、N分别是BE、CD的中点， ∴BM=BE=CD=CN， ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．（6分）
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
[好卷]2019-2020年福州市鼓楼区九年级上册期末数学模拟试卷（有答案）
