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2020年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．
3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．
4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2??1．如果?3x2?3?的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ）
x??nＡ．3
Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 ?xπ??π??2?平移，则平移后所得图象的解析式为2．将y?2cos???的图象按向量a???，?36??4?（ ）
?xπ?Ａ．y?2cos????2
?34??xπ?Ｃ．y?2cos????2
?312??xπ?Ｂ．y?2cos????2
?34??xπ?Ｄ．y?2cos????2
?312?
3．设P和Q是两个集合，定义集合P?Q??x|x?P，且x?Q?，如果P??x|log2x?1?，Q??x|x?2?1?，那么P?Q等于（ ）
Ａ．?x|0?x?1? Ｃ．?x|1≤x?2?
Ｂ．?x|0?x≤1? Ｄ．?x|2≤x?3?
4．平面?外有两条直线m和n，如果m和n在平面?内的射影分别是m?和n?，给出下列四个命题：
①m??n??m?n； ②m?n?m??n?；
③m?与n?相交?m与n相交或重合； ④m?与n?平行?m与n平行或重合．
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其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3
Ｄ．4
p?1??1???1?n?5．已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则lim?（ ） qn→??1??1???1?n?A．0
B．1
C．
p q D．
p?1 q?12an?16．若数列{an}满足2，则称{an}为“等方比数列”． ?p（p为正常数，n?N?）
an甲：数列{an}是等方比数列； 乙：数列{an}是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
x2y27．双曲线C1:2?2?1(a?0，b?0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；
ab抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则A．?1
B．1
C．?F1F2MF1?MF1MF2等于（ ）
1 2 D．
1 2An7n?45a?，则使得nBnn?3bn8．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且为整数的正整数n的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4
D．5
9．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m，n)与向量b?(1，?1)的夹角为
?，则???0，?的概率是（ ）
A．
??????5 12 B．
1 2 C．
7 12 D．
5 610．已知直线
xy??1（a，b是非零常数）与圆x2?y2?100有公共点，且公共点的横ab坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A．60条 B．66条 C．72条 D．78条
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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知函数y?2x?a的反函数是y?bx?3，则a? ；b? ． 12．复数z?a?bi，a，b?R，且b?0，若z?4bz是实数，则有序实数对(a，b)可以是 ．（写出一个有序实数对即可）
2?x?y≥0，13．设变量x，y满足约束条件?则目标函数2x?y的最小值为
?2≤x≤3.? ．
14．某篮运动员在三分线投球的命中率是
1，他投球10次，恰好投进3个球的概率 2 ．（用数值作答）
15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为
y（毫克） 1 ?1?y????16?t?a（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答
下列问题：
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时
O 0.1 t（小时）
间t（小时）之间的函数关系式为 ；
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知△ABC的面积为3，且满足0≤ABAC≤6，设AB和AC的夹角为?． （I）求?的取值范围； （II）求函数f(?)?2sin2??π?????3cos2?的最大?4?分组 频数 值与最小值．
17．（本小题满分12分）
在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；
（II）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于
[1.30，1.34) [1.34，1.38) [1.381.42)， [1.42，1.46) 4 25 30 29 10 1.40的概率是多少？
（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值
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[1.46，1.50) [1.50，1.54) 合计 2 100 2020年最新
（例如区间[1.30，1.34)的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望． 18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥V?ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且
π??AC?BC?a，?VDC???0????．
2??（I）求证：平面VAB⊥VCD；
（II）当解?变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．
V
C D A
19．（本小题满分12分）
B
2在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x?2py（p?0）相交于
A，B两点．
（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
y C A O N （此题不要求在答题卡上画图） 20．（本小题满分13分） 已知定义在正实数集上的函数f(x)?B x
12x?2ax，g(x)?3a2lnx?b，其中a?0．设两2曲线y?f(x)，y?g(x)有公共点，且在该点处的切线相同． （I）用a表示b，并求b的最大值；
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（II）求证：f(x)≥g(x)（x?0）． 21．（本小题满分14分） 已知m，n为正整数，
（I）用数学归纳法证明：当x??1时，(1?x)≥1?mx；
m1?1m?1??（II）对于n≥6，已知?1?，求证， ?1?????22?n?3??m?3?m??1??求证?1?，2，，n； ????，m?1n?32????（III）求出满足等式3?4?
nnmmmm?(n?2)n?(n?3)m的所有正整数n．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．6；
12
12．(2，1)（或满足a?2b的任一组非零实数对(a，b)）
13．?3 2 14．
15 128
?1??10t，0≤t≤??，?10???15．y??；0.6 1t?1???1?10?，t?????16?10?????三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 解：（Ⅰ）设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则由
1?ππ?bcsin??3，0≤bccos?≤6，可得0≤cot?≤1，∴???，?． 2?42?2（Ⅱ）f(?)?2sin???π??π??????3cos2???1?cos??2????3cos2? ?4??2???π???(1?sin2?)?3cos2??sin2??3cos2??1?2sin?2????1．
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2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖北.理)含答案
