2020年单招升学摸底测试数学卷
一、填空题（本大题满分44分，共11题，每题4分，只要求直接填写结果）
1、已知：a?bi?i?i4（其中a、b为实数，i为虚数单位）。则a?b? ； 2、若
m?loga2，
n?loga3，则a2m?n? ；
3、已知：a??{1,2}，b??{x,1}，且a??2b?与2a??b?平行，则x? ；
f(x)?sin2x?2x?[?2?3,3]4、已知
cosx，的最小值为 ；
5、在一个袋子里有10个红球和2个白球，现从中随机拿出3个，则其中至少有一个白球的概率是 （用分数表示） ；
??x?1?2cos?6、参数方程?y?cos2?（?为参数方程）所表示的曲线的焦点的直角坐标是 ；
?7、经过点A(a,0)，（a?0），且与极轴正方向夹角为4的直线的极坐标方程为 ；
8、若直线2ax?by?2?0（a、b?R），始终平分圆
x2?y2?2x?4y?1?0的周长，则ab的最大 值为 ；
f(x)?loga1(x?1?)9、已知：函数
2x（a?0）在区间[1,??)上单调递减，则实数a 取值范围是 ；P(n,Sn)Q(n?2,Sn?210、数列
{an}是等差数列，前n项和为
Sn，S2?10，S5?55，则过点
nn?2)，的直线
斜率为 ； 11、设集合
Sn?{1,2,3,?,n}，若
Z?Sn，则把Z的所有元素的乘积称为Z的容量（若Z中只有一个元素，
则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）。若Z的容量为奇（偶）数，则称为奇（偶）子集。若n?4，则Sn的所有奇子集的容量之和为 ；
二、选择题（本大题满分16分，共4题，每题有且仅有一个正确答案）
12、x?2的必要非充分条件是……………………………………………………………（ ） A、
x?1?3 B、
x?1?2 C、
x?1?1 D、
x?1?1
sin2???1?42????13、已知：
，且，则cos??sin??……………………………（ ）
3?355A、2 B、
2? C、2 D、2 14、直线a在平面M内，则“平面M∥平面N”是“直线a∥在平面N”的…………（ ） A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件
15、函数f(x)的反函数图像向左平移一个单位得到曲线C，函数g(x)的图像与曲线C关于y?x成轴对称，则g(x)等于…………………………………………………………（ ）
A、g(x)?f(x)?1 B、g(x)?f(x?1) C、g(x)?f(x)?1 D、g(x)?f(x?1)
三、解答题
16、（本题满分12分，第1小题8分，第2小题4分）
x?x?yi?y?1若复数z（x、y?R），且1?i1?2i1?3i，i是虚数单位
（1）求复数z； （2）求
z。、
17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
CF?2已知：正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，点E、FBCAE?分别在底面正方形的边AB、上，且
3，
D1C1点G是棱A1B1的中点。
A1GB1（1）在图中画出经过三点正方体E、F、G的截面，并保留作图痕迹； （2）求（1）中的截面与底面ABCD所成锐二面角的大小；
D
CFAEB
18、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题10分） 数列
?an?的前n项和Sn?2an?1（n?N）
（1）求数列?an?的通项；
（2）数列
?bn?满足b1?3，bn?1?an?bn（n?N），求?bn?的通项及前n项和Bn；
19、（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）
已知：某型号进口仪器每台降价x成（1成为10%），那么售出数量就增加mx成（m?R?常数）
m?5（1）当某商场现在定价为每台a元，售出b台，试建立降价后的营业额y与每台降价x成的函数关系式，并求出4时，
每台降价多少成时，营业额y最大？
（2）为使营业额增加，求m的取值范围。 20、（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）
)x1设f(x是定义在R上的偶函数，图像关于直线x?1对称，且对1、x2?[0,2]，有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(1)，f(1)，??，1（1）设f(1)?a，探求24f(2n)的值；
（2）求证：f(x)是以2为周期的函数，并将该命题加以推广。
21、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）
已知：一椭圆两焦点坐标分别为F1(1，0)、F2(?1，0)，且椭圆上一点P到两焦点的距离和为4 （1）求该椭圆的方程；
MF??1?MF2MF??1?MF2?m?1MF??1?MF2（2）设点M在椭圆上，且，试把表示为m的函数f(m)；
（3）试证：方程 f ( m ) ? 2 sin m 至多只有一个实数根。
2
答案
一、填空题（本大题满分44分，共11题，每题4分，只要求直接填写结果） 1、已知：a?bi?i?i4（其中a、b为实数，i为虚数单位）。则a?b? 2 ； 2、若
m?loga2，
n?loga3，则
a2m?n? 12 ； 3、已知：a??{1,2}，b??{x,1}，且a??2b?与
2a??b?1平行，则x? 2 ； x?[?4、已知f(x)?sin2x?2cosx，
3,2?13]－的最小值为 4 ； 55、在一个袋子里有10个红球和2个白球，现从中随机拿出3个，则其中至少有一个白球的概率是 11 （用分数表示）；??x?1?2cos?6、参数方程?y?cos2?（1,-1（?为参数方程）所表示的曲线的焦点的直角坐标是
2） ； ?7、经过点A(a,0)，（a?0），且与极轴正方向夹角为4的直线的极坐标方程为 ?cos???sin??a；
18、若直线2ax?by?2?0（a、b?R22），始终平分圆x?y?2x?4y?1?0的周长，则ab的最大值为 4 ；
f(x)?loga1(x?1?9、已知：函数
2x)（a?0）在区间[1,??)上单调递减，则实数a 取值范围是
?－1,0? ；
10、数列
{an}是等差数列，前n项和为
Sn，SS?55P(n,Snn)Q(n?2,Sn?2)2?10，5，则过点
，n?2的直线斜率为 2 ；11、设集合
Sn?{1,2,3,?,n}，若
Z?Sn，则把Z的所有元素的乘积称为Z的容量（若Z中只有一个元素，则该元素
的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）。若Z的容量为奇（偶）数，则称为奇（偶）子集。若n?4，则Sn的所有
奇子集的容量之和为 7 ；
二、选择题（本大题满分16分，共4题，每题有且仅有一个正确答案） 12、x?2的必要非充分条件是……………………………………………（A ） A、
x?1?3 B、
x?1?2 C、
x?1?1 D、
x?1?1
sin2???1????13、已知：4?，且2，则cos??sin??……………………………（ D ）
3?35A、2 B、
2?5 C、2 D、2 14、直线a在平面M内，则“平面M∥平面N”是“直线a∥在平面N”的…………（ A ） A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件
15、函数f(x)的反函数图像向左平移一个单位得到曲线C，函数g(x)的图像与曲线C关于y?x成轴对称，则g(x)等于…………………………………………………………（A ）
A、g(x)?f(x)?1 B、g(x)?f(x?1) C、g(x)?f(x)?1 D、g(x)?f(x?1) 三、解答题
16、（本题满分12分，第1小题8分，第2小题4分）
x?y2i?1若复数z?x?yi（x、y?R），且1?i1?1?3i，i是虚数单位
（1）求复数z； （2）求
z。、
z＝－1z26(1)
5＋i＝ (2) 5。 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
AE?CF?2已知：正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，点E、F分别在底面正方形的边AB、BC上，且
3，
点G是棱A1B1的中点。
（1）在图中画出经过三点正方体E、F、G的截面，并保留作图痕迹； （2）求（1）中的截面与底面ABCD所成锐二面角的大小；
arctg62 D1C1
A1GB118、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题10分） 数列
?an?的前n项和Sn?2an?1（n?N）
DC（1）求数列?an?的通项；
FAEBan?2n?1(n?N)
（2）数列
?bn?满足b1?3，bn?1?an?bn（n?N），求?bn?的通项及前n项和Bn；
bn?1n?2?2,Bn?2n?2n?1
19、（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）
已知：某型号进口仪器每台降价x成（1成为10%），那么售出数量就增加mx成（m?R?常数）
ym?5（1）当某商场现在定价为每台a元，售出b台，试建立降价后的营业额与每台降价x成的函数关系式，并求出4时，
每台降价多少成时，营业额y最大？
y＝a(1?x解：
10)b(1?mx10),x??0,10?
m＝5 当
4时，x＝1，营业额最大，降价1成时。
（2）为使营业额增加，求m的取值范围。
y＝a(1?x解：为使营业额增加，
10)b(1?mx10)?ab,x??0,10?
0 20、（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分） x?[0,1设f(x)是定义在R上的偶函数，图像关于直线x?1对称，且对1、x22]，有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(1)，f(1)，??，f(1（1）设f(1)?a，探求242n)的值； （2）求证：f(x)是以2为周期的函数，并将该命题加以推广。 21、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分） 已知：一椭圆两焦点坐标分别为F1(1，0)、F2(?1，0)，且椭圆上一点P到两焦点的距离和为4 （1）求该椭圆的方程； MF??1?MF2MF????1?MF2?m?1MF1?MF2（2）设点M在椭圆上，且 ，试把 表示为m的函数f(m)； f(m)?2sinm（3）试证：方程 2至多只有一个实数根。 x2y2＋?1解：（1）该椭圆的方程43； f(m)?1(m?8),m?（2）4m?1,2? F(m)＝f(m)?2sinm（3）（反证法） 2 1,m2??1,2?m，不妨设 1?m2,Qf(m）与-2sinm在 如果至少存在两个不相等的实数 m2?1,2?上为减函数， ?F(m）在?1,2?上为减函数。 故F(m1)?F(mf(m)?2sinm2)，这与 F(m1)＝F(m2)＝0相矛盾。因此，满足方程 2至多只有一个实数根。
（完整word版）高职单招摸底考试券A3版（数学）附答案
