中南财经政法大学2011 –2012 学年第一学期《离散数学》期末考试
A卷标答及评分标准
一、选择题（每小题2分，共20分） 1 A 2 B 3 A 4 C 5 C 6 C 7 B 8 B 9 B 10 C 二、判断题（每小题1分，共10分） 1 √ 2 ? 3 √ 4 √ 5 ? 6 ? 7 √ 8 ? 9 √ 10 √ 三、填空题（每空2分，共30分）
22或4 23或8
2
四、解答题（共17分） 1.本题5分 2. 本题5分 成立。（本步骤1分）
?(x,y)?A?(B?C)，则x?A?y?B?C
所以，A?(B?C)?(A?B)?(A?C)。 （本步骤2分） 同理可证 (A?B)?(A?C)?A?(B?C)。 （本步骤2分）
所以，(A?C)?(B?C)?(A?B)?C。 3. 本小题7分
设x的论域为所有人的集合。P(x):x守信用。Q(x):x可信赖，R(x):x受教育。（2分） 则：??x(?P(x)?Q(x)),?x(Q(x)?R(x)??x(R(x)?P(x))。（本步骤2分） 推理过程如下：（本步骤3分）
P (1)?x(Q(x)?R(x))
(2)Q(a)?R(a)
T(1),ES
P (3)??x(?P(x)?Q(x))
T(3),E (4)?x(?P(x)??Q(x))
(5)?P(a)??Q(a) T (4),I
T(2),I (6)R(a),Q(a)
T(6),EG (7)P(a)
T(6)(7),I (8)R(a)?P(a)
T(8),EG (9)?x(R(x)?P(x)) 五、证明题
1.本小题7分
?y?f(A?B),则?x?A?B,使得y?f(x)。由x?A?B?x?A?x?B，有 f(x)?f(A)?f(x)?f(B)?f(x)?f(A)?f(B)，即y?f(A)?f(B)。所以
（4分） f(A?B)?f(A)?f(B)。
?y?f(A)?f(B)，则y?f(A)?y?f(B)，则?x,x?A?x?B使y?f(x)。即?x,x?A?B使y?f(x)。所以f(x)?f(A?B)。故f(A)?f(B)?f(A?B)。（3分）
得证。 2.本题7分
（1）?a?A，因为R1,R2为集合A上的等价关系，所以(a,a)?R1?(a,a)?R2，所以
(a,a)?R1?R2。所以R1?R2是自反的。 （本步骤1分）
（2）?a,b?A，若(a,b)?R1?R2，因为R1,R2为集合A上的等价关系，所以(b,a)?R1?R2，R1?R2是对称的。 （本步骤3分）
（3）?a,b,c?A，若(a,b),(b,c)?R1?R2，则(a,b),(b,c)?R1?(a,b),(b,c)?R2，因为R1,R2为集合A上的等价关系，所以(a,c)?R1?(a,c)?R2，故(a,c)?R1?R2。所以R1?R2是可传递
的。 （本步骤3分） 综上，R1?R2是集合A上的等价关系。 3. 本题9分
证明：在一个独异点中所有右可逆元的集合形成一个子独异点。 设?S,*?是一个独异点，e是幺元。集合S中所有右可逆元的集合构成了集合H，现在证?H,*?是?S,*?的一个子独异点。（1分）
（1） 显然，H?S。（2分）
（2） 因为e*e?e，所以e是右可逆的，e?H。（3分） （3） ?a,b?H，则a,b?S,?al,bl综上，得证。
?S,a*al?b*bl?e，故(a*b)*(bl*al)?e，
所以a*b也是右可逆的，a*b?H。运算在集合H下也是封闭的。（3分）
?1?1?1?1?1?1
2011年中南财经政法大学工程学院离散数学A卷标答
