大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
答案：
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 6.D 11.A
2.B 7.C 12.B
3.B 8.A 13.D
4.D 9.A 14.C
5.C 10.B
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. ??337?，c为任意常数 ? 17. 4 18. –10 19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)）
??1?37?222?z220. n-r 21. –5 22. –2 23. 1 24. z12?z3?z4
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
?120??2?2??86???????25.解（1）AB=?340??34?=?1810?.
????????121???10??310?T
（2）|4A|=43|A|=64|A|，而
12040??2. 所以|4A|=64·（-2）=-128
|A|=33?526.解
21110?5?121?131325110?5?1?1313?4?11??10?3?5511511?1?62?30?10?40. =?111?1=?620?0?5?5?5?50?5?500127.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而
?223???（A-2E）-1=?1?10?????121??1?4?3?????1?5?3?. ????164??1?4?3??423??3?8?6???????所以 B=(A-2E)-1A=?1?5?3??110?=?2?9?6?.
????????164???123???2129???2130??0?53?2??1?????1?30?11?30?10??????????28.解一 ??0224??0112??0??????34?19??013?112??0?1?0?????0??005??1??112?0?????0088???0?14?14??03035??112?
011??000?002??101?, 所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.
011??000?解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?2即 ?1
2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.共3页第16页
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方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.
29.解 对矩阵A施行初等行变换
?1?2?1?000A?????032??0962?2??1?2?10?1?2?1????6?2?0328?3?032?????????000?0008?2?6?2?????3?2??000?217??00002??8?3?=B. 3?1??00?0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.
（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列
向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
?25/5??25/15?????ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T. 经正交标准化，得η1=??5/5?，η2=?45/15?.
?0??5/3??????1??1/3?????λ=-8的一个特征向量为 ξ3=?2?，经单位化得η3=?2/3?.
??????2/3???2??25/5215/151/3??100?????所求正交矩阵为 T=??5/545/152/3?. 对角矩阵 D=?010?.
???05/3?2/3??00?8????25/5215/151/3???（也可取T=?0?5/32/3?.）
?5/5?45/15?2/3???31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.
?y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2y2???x2?x3，即?x2?y2?y3设?y2???x?y3?3?y?x33??1?20???，因其系数矩阵C=?011?可逆，故此线性变
???001?换满秩。
经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，
所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2 .
33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.
（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b， 所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0， 即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0. 则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设，ξ1，ξ所以η0，η1，η2线性无关。
2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而
l0=0 .
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线性代数期末考试试卷+答案合集-大一期末线性代数试卷
