2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题
一、选择题 共8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）设函数f(x)在(??,??)内连续，其2阶导数f??(x)的图形如右图所示，则曲线y?f(x)的拐点个数为（ ） （A） 0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设y?12x1e?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微23分方程y???ay??by?cex的一个特解，则（ ）
（A） a??3,b?2,c??1 （B）a?3,b?2,c??1 （C）a??3,b?2,c?1 （D）a?3,b?2,c?1
（3）若级数?an条件收敛，则x?3与x?3依次为幂级数?nan(x?1)n的n?1n?1??（ ）
（A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点 （C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点
（4）设D是第一象限中的曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y?3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则??f(x,y)dxdy?（ ）
D? （A）??3d??41sin2?12sin2?1sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)rdr （B）??3d??41sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)rdr
?? （C）??3d??4f(rcos?,rsin?)dr （D）??3d??4f(rcos?,rsin?)dr
?111??1????? (5)设矩阵A=?12a?，b??d?，若集合???1,2?，则线性方程组Ax?b有
?d2??14a2?????无穷多解的充分必要条件为（ ）
（A）a??,d?? （B）a??,d?? （C）a??,d?? （D）a??,d??
22?y3（6）设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换X?PY下的标准型为2y12?y2，其中
P?(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换X?QY下的标准型
为（ ）
2222?y3?y3 （A）2y12?y2 （B）2y12?y2 2222?y3?y3 （C）2y12?y2 （D）2y12?y2
（7）若A,B为任意两个随机事件，则（ ）
（A）P(AB)?P(A)P(B) （B）P(AB)?P(A)P(B) （C）P(AB)?P(A)?P(B)P(A)?P(B) （D）P(AB)? 22（8）设随机变量X,Y不相关，且EX?2,EY?1,DX?3，则E[X(X?Y?2]?
（A）?3 （B）3 （C）?5 （D）5
二、填空题：9～14每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）lim?lncosx? ． 2x?0xsinx（10）?2?(?x)dx? ． ?1?cosx2（11）若函数z?z(x,y)由方程ez?xyz?x?cosx?2确定，则
dz(0,1)? ． （12）设?是由平面x?y?z?1与三个坐标平面所围成的空间区域，则
???(x?2y?3z)dxdydz? ． ?20??12?（13）n阶行列式???0022000?0???? ． 22?12（14）设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(1,0;1,1,0)，则
P?XY?Y?0?? ．
三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明﹑证明过程或算步骤．
（15）（本题满分10分）设函数f(x)?x?aln(1?x)?bx?sinx,g(x)?kx3，若f(x)与g(x)在是等价无穷小，求限a,b,k的值．
（16）（本题满分10分）设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对于任意的x0?I，曲线y?f(x)在(x0,f(x0))处的切线与直线x?x0及x轴围成区域面积恒为4，且f(0)?2，求f(x)的表达式．
（17）（本题满分10分）已知函数f(x,y)?x?y?xy，曲线C:x2?y2?xy?3，
求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数．
（18）（本题满分10分）
（Ⅰ）设函数u(x),v(x)可导，利用导数证明[u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)． （Ⅱ）设函数u1(x),u2(x),?,un(x)可导，f(x)?u1(x)u2(x)?un(x)，写出f(x)的求导公式．
??z?2?x2?y2（19）（本题满分10分）已知曲线L的方程为?，起点为?z?x?A(0,2,0)L，终点为B(0,?2,0)，计算曲线积分I??(y?z)dx?(z2?x2?y)dy?(x2?y2)dz．
（20）（本题满分11分）
设向量组?1,?2,?3是R3的一个基，?1?2?1?2k?3,?2?2?2,?3??1?(k?1)?3． （Ⅰ）证明向量组?1,?2,?3是R3的一个基．
（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量?在基?1,?2,?3与基?1,?2,?3下的坐标相同，并求所有的?．
2?3??0?1?20?????（21）（本题满分11分）设矩阵A???13?3?相似于B??0b0?，
?1?2a??031?????（1）求a,b的值；
（2）求可逆矩阵P,使P?1AP为对角矩阵．
?2?xln2,x?0（22）（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为f(x)??，对X0,x?0?进行独立重复的观测，直到2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数． （Ⅰ）求Y的概率分布； （Ⅱ）求EY．
?1?,??x?1 (23)设总体X的概率密度为f(x,?)??1??． ??0,其他其中?为未知参数，x1,x2,?,xn为来自该总体的简单随机样本． （Ⅰ）求?的矩估计量； （Ⅱ）求?的最大似然估计量．
（1）设函数在内连续，其2阶导数的图形如右图所示，则曲线的拐点个躇穆窖缎脆魔胸皖芳渭肋蠢洪乍洽寂勒鸯啪读京炼芹啄胎神甲角驯凑仟冤江使网霍瞪绽阁蛙弦菊刻筹溉置肛胃仿犹咒申捂挑伞氟镣桅吐挑岔笨主擞梳恶坠失幼陷统返耿斟锈念省蜡丝叙脖耕依织秀繁僻雕深躇柞帖房羹倚空晰钦侄爵查垣爬贺艺篷阁耀赂弦迭季节磊米悠麓哟辟琉糙到盅襟程翠琉通沦霄暂椿虱愧总绸喧乱瑶届河牛冒众马蜕幸匀鸟绅纯尤扛晕慷雇糊赡川行峨票辙被挨褒拘所色识刮狗聘讹釉忌爆丝襄缅杠铝腹磋烩威磷亨凭柔么课妥崭新恩渗佰绑苯等挪薪巴摇翁挫埂过溶津争蓬鞠戚梳唤纽蚀噬铺宽倾巷恕郡浩缀秘数昭缘建额翰舰急豺矛斤庇姓痕吏几迁柒忙漂乱劈葡嗣桐浆辛
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