百度文库 - 让每个人平等地提升自我
A组 基础关
x2y2
1．(2024·唐山统考)“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
25－kk－9A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A
x2y2
解析 ∵方程＋＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，
25－kk－9x2y2
∴“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
25－kk－9
5
2．设椭圆C1的离心率为13，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
x2y2
A.42－32＝1 x2y2
C.32－42＝1 答案 A
解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8<10＝|F1F2|.由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a＝4，x2y2
b＝3.故曲线C2的标准方程为42－32＝1.
x2y2
3．(2024·全国卷Ⅱ)双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±3x 23C．y＝±2x D．y＝±2x 答案 A
22
cb2c－ab
解析 ∵e＝a＝3，∴a2＝a2＝e2－1＝3－1＝2，∴a＝2.因为该双曲线
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
x2y2
B.132－52＝1 x2y2
D.132－122＝1
1
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b
的渐近线方程为y＝±ax，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±2x，选A.
x22
4．与椭圆4＋y＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( ) x22
A.4－y＝1 x2y2
C.3－3＝1 答案 B
x22
解析 解法一：椭圆4＋y＝1的焦点坐标是(±3，0)． x2y2
设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)， 因为双曲线过点P(2,1)， 41
所以a2－b2＝1，又a2＋b2＝3，
x22
解得a＝2，b＝1，所以所求双曲线方程是2－y＝1.
2
2
x22
B.2－y＝1 y2
D．x－2＝1
2
x2y2
解法二：设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，
4－λ1－λ将点P(2,1)的坐标代入可得解得λ＝2(λ＝－2舍去)， x22
所以所求双曲线方程为2－y＝1.
x2y2
5．已知双曲线a2－3＝1(a>0)的两条渐近线均与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相切，则该双曲线的实轴长为( )
A．3 B．6 C．9 D．12 答案 B
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心坐标为C(2,0)，半径rbb
＝1.双曲线的渐近线为y＝±ax，不妨取y＝ax，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆C相切，所以圆心到渐近线的距离d＝b2＝3，则a2＝9，所以2a＝6.故选B.
2
＋＝1， 4－λ1－λ
41
x2y2
＝1，所以3b＝a.由a2－3＝1，得22a＋b|2b|
2
2
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2π
6．(2024·厦门模拟)△ABC中，∠B＝3，A，B是双曲线E的左、右焦点，→＋BC→)·→＝0，则E的离心率为( ) 点C在E上，若(BAAC
A.5－1 3－1
C.2 答案 D
→＋BC→＝2BD→，因为(BA→＋BC→)·→＝0，
解析 设线段AC的中点为D，则BAAC→·→＝0，所以BD⊥AC，所以AB＝BC.因为B(c,0)，BC＝AB＝2c，且∠所以BDAC2π
ABC＝3，所以点C的坐标为(2c，3c)．
x2y24c23c24c23c232
代入2－2＝1得2－2＝1，所以2－2＝1，所以4e－＝1，2ababa1c－a1－e23＋1整理得4e－8e＋1＝0，又e>1，解得e＝2. 4
2
B.3＋1 3＋1D.2
y2
7．已知双曲线C：x－4＝1，经过点M(2,1)的直线l交双曲线C于A，B
2
两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为( )
A．8x－y－15＝0 B．8x＋y－17＝0 C．4x＋y－9＝0 D．4x－y－7＝0 答案 A
22??4x1－y1＝4，
解析 设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则?
22??4x2－y2＝4，
两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 因为M(2,1)是线段AB的中点， 所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 所以16(x1－x2)－2(y1－y2)＝0， y1－y216
所以kAB＝＝2＝8，
x1－x2
故直线l的方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0.
3
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8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当F→B⊥A→B时，其离心率为
5－1
，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄2
5＋12 金双曲线”的离心率e等于________．
答案
x2y2
解析 设“黄金双曲线”方程为a2－b2＝1， 则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)． 在“黄金双曲线”中， →⊥AB→，所以FB→·→＝0. 因为FBAB→＝(c，b)，AB→＝(－a，b)． 又FB
所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac. 5＋1
在等式两边同除以a，得e＝2. 2
y2
9．(2024·武汉模拟)已知双曲线x－3＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P
2
→→的最小值为________． 为双曲线右支上一点，则PA1·PF2
答案 －2
解析 由题意可知A1(－1,0)，F2(2,0)． 设P(x，y)(x≥1)，
→→＝(2－x，－y)，P→→＝x2－x－2＋y2＝x2－x
则PA1＝(－1－x，－y)，PFA1·PF22－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.
4
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1
因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝8，所以当x＝1时，→→取得最小值－2. PA1·PF2
x2y2
10．(2024·唐山模拟)P是双曲线a2－b2＝1右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________．
答案 a
解析 ∵点P是双曲线右支上一点， ∴由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，
若设△PF1F2的内切圆圆心在x轴上的投影为A(x,0)，则该点也是内切圆与x轴的切点．
设B，C分别为内切圆与PF1，PF2的切点．
由切线长定理，则有|PF1|－|PF2|＝(|PB|＋|BF1|)－(|PC|＋|CF2|)＝|BF1|－|CF2|＝|AF1|－|F2A|＝(c＋x)－(c－x)＝2x＝2a，所以x＝a.
所以内切圆圆心的横坐标为a.
B组 能力关
x2y21．(2024·河南天一大联考)已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，点F为双曲线C的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交QF于点M，若M是线段QF的中点，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±22x C．y＝±3x 答案 A
解析 连接BQ，则由双曲线的对称性易得∠PBF＝∠QBF，∠EAB＝∠EBA，PEPM
所以∠EAB＝∠QBF，所以ME∥BQ，在△PME和△PQB中，有BE＝MQ，在△BPFOFPEcOFPEPM
和△BEO中，有OB＝BE，又因为点M为QF的中点，所以e＝a＝OB＝BE＝MQb＝3，a＝
c2b－1＝22，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±22x. a2ax，即y＝±
B．y＝±5x D．y＝±6x
5
2024年高考数学理科一轮复习第8章平面解析几何第6讲课后作业
