河北师范大学附属中学数学旋转几何综合单元复习练习(Word版 含
答案)
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；
（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF；
（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）【解析】 【分析】
5 3（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；
（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即
?ADG??ADF?180?，即?B??D?180?；
（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再RtBDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长． 【详解】 （1）解：如图，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中
?AF?AF???EAF??GAF ?AE?AG?∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是：
如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合， 则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中
?AF?AF???EAF??GAF ?AE?AG?∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°；
（3）解：∵△ABC中，AB=AC=22，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC=AB2?AC2=4，
如图，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF． 则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE， ∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD和△EAD中
?AD?AD???FAD??EAD ?AF?AE?∴△FAD≌△EAD， ∴DF=DE， 设DE=x，则DF=x， ∵BD=1，
∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°，
由勾股定理得：DF2?BF2?BD2，
x2?(3?x)2?1，
解得：x=即DE=
5， 35． 3【点睛】
本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．
2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合），且始终保持BP?BQ，AQ?QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．
（1）求证：?APQ≌?QCE； （2）证明：DF?BQ?QF；
（3）设BQ?x，当x为何值时，QF//CE，并求出此时?AQF的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当x??2?22时，QF//CE；
S?AQF??4?42．
【解析】 【分析】
（1）判断出△PBQ是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE，再求出AP=CQ，然后利用“角边角”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ，判断出△AQE是等腰直角三角形，将
?ADF绕点A顺时针旋转90?得?F?AB，再证明?F?AQ≌?FAQ?SAS?；
（3）连结AC，设QFCE，推出?QCF是等腰直角三角形°，再证明
?ABQ≌?ADF?SAS?，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF，AQ?AF，
?QAB??DAF?22.5?，分别用x表示出DF、CF、QF，然后列出方程求出x，再求出
△AQF的面积． 【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB?BC，?B??BCD??DCM?90?， ∵BP?BQ，
∴?PBQ是等腰直角三角形，AP?QC， ∴?BPQ?45?， ∴?APQ?135? ∵CE平分?DCM， ∴?DCE??ECM?45?， ∴?QCE?135?， ∴?APQ??QCE?135?， ∵AQ?QE，
∴?AQB??CQE?90?． ∵?AQB??BAQ?90?． ∴?BAQ??CQE．
∴?APQ≌QCE?ASA?． （2）由（1）知?APQ≌?QCE． ∴QA?QE． ∵?AQE?90?，
∴?AQE是等腰直角三角形， ∴?QAE?45?． ∴?DAF??QAB?45?，
如图4，将?ADF绕点A顺时针旋转90?得?F?AB，
其中点D与点B重合，且点F?在直线BQ上，
则?F?AQ?45?，F?A?FA，AQ?AQ， ∴?F?AQ≌?FAQ?SAS?． ∴QF??QF?BQ?DF．
（3）连结AC，若QFCE，
则?FQC??ECM?45?． ∴?QCF是等腰直角三角形， ∴CF?CQ?2?x， ∴DF?BQ?x．
∵AB?AD，?B??D?90?， ∴?ABQ≌?ADF?SAS?．
∴AQ?AF，?QAB??DAF?22.5?， ∴AC垂直平分QF，
∴?QAC??FAC??QAB??FAD?22.5?，FQ?2QN， ∴FQ?2BQ?2x．
在Rt?QCF中，根据勾股定理，得(2?x)?(2?x)?(2x)． 解这个方程，得x1??2?22， x2??2?22（舍去）． 当x??2?22222时，QFCE．
河北师范大学附属中学数学旋转几何综合单元复习练习(Word版 含答案)
