普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题， 每小题5分， 共计70分。请把答案填写在答题卡相印
位置上。 1．函数y?3sin(2x?【答案】π
2π2π
【解析】T＝||＝||＝π．
ω2
2．设z?(2?i)（i为虚数单位）， 则复数z的模为． 【答案】5
【解析】z＝3－4i， i2＝－1， | z |＝
＝5．
2?4)的最小正周期为．
x2y2??1的两条渐近线的方程为． 3．双曲线169【答案】y??3x 4x2y29x23??0， 得y??【解析】令：??x． 1691644．集合{?1,0,1}共有个子集．
【答案】8
【解析】23＝8．
5．右图是一个算法的流程图， 则输出的n的值是． 【答案】3
【解析】n＝1， a＝2， a＝4， n＝2；a＝10， n＝3；a＝28， n＝4．
6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环）， 结果如下：
运动员 甲 乙 第一次 87 第二次 91 第三次 90 第四次 89 第五次 93 92 89 90 91 88 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为． 【答案】2
【解析】易得乙较为稳定， 乙的平均值为：x?289?90?91?88?92?90．
5(89?90)2?(90?90)2?(91?90)2?(88?90)2?(92?90)2?2． 方差为：S?57．现在某类病毒记作XmYn， 其中正整数m， n（m?7， n?9）可以任意选取， 则
m，n
都取到奇数的概率为．
【答案】
20 634?520． ?7?963【解析】m取到奇数的有1， 3， 5， 7共4种情况；n取到奇数的有1， 3， 5， 7， 9共5种情况， 则m，n都取到奇数的概率为
8．如图， 在三棱柱A1B1C1?ABC中， D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点， 设三棱锥F?ADE的体积为V1， 三棱柱A1B1C1?ABC的体积为V2， 则V1:V2?． 【答案】1：24
【解析】三棱锥F?ADE与三棱锥A1?ABC的相似比为1：2， 故体积之比为1：8．
又因三棱锥A1?ABC与三棱柱A1B1C1?ABC的体积之比为1：3．所以， 三棱锥F?ADE与三棱柱
C1
B1
A1 F E A D
C
B
A1B1C1?ABC的体积之比为1：24．
29．抛物线y?x在x?1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界) ．若点P(x,y)是区域D内的任意一点， 则x?2y的取值范围是． 1【答案】[—2， ] 2
1z2【解析】抛物线y?x在x?1处的切线易得为y＝2x—1， 令z＝x?2y， y＝—x＋．
2211
画出可行域如下， 易得过点(0， —1)时， zmin＝—2， 过点(， 0)时， zmax＝．
22
y y＝2x—1 O x 1y＝— x
210．设D，E分别是?ABC的边AB，BC上的点， AD?
12AB， BE?BC， 23若DE??1AB??2AC（?1，?2为实数）， 则?1??2的值为． 1
【答案】 2
【解析】DE?DB?BE?1212AB?BC?AB?(BA?AC) 232312??AB?AC??1AB??2AC
63121
所以， ?1??， ?2?， ?1??2?．
26311．已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x?0时， f(x)?x?4x， 则不等式f(x)?x 的解集用区间表示为．
【答案】(﹣5， 0)∪(5， ﹢∞)
【解析】做出f(x)?x?4x (x?0)的图像， 如下图所示。由于f(x)是定义在R上的奇函数， 利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式f(x)?x， 表示函数y＝f(x)的图像在y＝x的上方， 观察图像易得：解集为(﹣5， 0)∪(5， ﹢∞)。
y P(5,5) y＝x2—4 x x Q(﹣5, ﹣5)
22y＝x x2y212．在平面直角坐标系xOy中， 椭圆C的标准方程为2?2?1(a?0,b?0)， 右焦点
ab为
F， 右准线为l， 短轴的一个端点为B， 设原点到直线BF的距离为d1， F到l的
距离为d2， 若d2?【答案】
6d1， 则椭圆C的离心率为．
l a c F x 3 3y B b O a2a2b2【解析】如图， l：x＝， d2＝－c＝，
cccb2bc由等面积得：d1＝。若d2?6d1， 则
ca＝
6bc， 整理得：a6a2?ab?6b2?0， 两边同除以：a2， 得：
63b?b??b??b? 解之得：＝， 所以， 离心率为：e?1????． 6??????6?0，
33a?a??a??a?
13．在平面直角坐标系xOy中， 设定点A(a,a)， P是函数y?点，
若点P，A之间的最短距离为22， 则满足条件的实数a的所有值为． 【答案】1或10 【解析】
14．在正项等比数列{an}中， a5?的
最大正整数n的值为．
【答案】12
221
（x?0）图象上一动x
1， a6?a7?3， 则满足a1?a2???an?a1a2?an21??a1q4?【解析】设正项等比数列{an}首项为a1， 公比为q， 则：?2??a1q5(1?q)?31
＝， q＝2， an＝26
32
(n?1)n2－
， 得：a1
n
2n?1．记Tn?a1?a2???an?，
25(n?1)n2?n?a1a2?an?22n?1?2．Tn??n， 则25， 化简得：2?1?2n1211n?n?522，
当n?13?1211211?12．当n＝12时， T12??12， 当n＝13时， n?n?5时， n?222T13??13， 故nmax＝12．
二、解答题：本大题共6小题， 共计90分．请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知a＝(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)， 0??????．
（1）若|a?b|?2， 求证：a?b；
（2）设c?(0,1)， 若a?b?c， 求?,?的值． 解：（1）a－b＝(cosα－cosβ， sinα－sinβ)，
|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2， 所以， cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，
所以， a?b． （2）??cos??cos??0?sin??sin??1①1， ①2＋②2得：cos(α－β)＝－．
2②所以， α－β＝
22?， α＝?＋β， 3332?1
cosβ＋sinβ＝sin(＋β)＝1， ?＋β)＋sinβ＝2233带入②得：sin(
??＋β＝． 325??所以， α＝， β＝．
66所以，
16．（本小题满分14分）
如图， 在三棱锥S?ABC中， 平面SAB?平面SBC， AB?BC， AS?AB， 过A作AF?SB， 垂足为F， 点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证： （1）平面EFG//平面ABC；
S
（2）BC?SA．
证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB， G E 所以F为SB的中点． F 又E， G分别为SA， SC的中点， C
A 所以， EF∥AB， EG∥AC．
又AB∩AC＝A， AB?面SBC， AC?面ABC， 所以， 平面EFG//平面ABC． B （2）因为平面SAB⊥平面SBC， 平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF?平面ASB， AF⊥SB． 所以， AF⊥平面SBC． 又BC?平面SBC， 所以， AF⊥BC．
又AB⊥BC， AF∩AB＝A， 所以， BC⊥平面SAB． 又SA?平面SAB， 所以， BC?SA．
17．（本小题满分14分）
y 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 点A(0,3)， 直线l:y?2x?4． 设圆C的半径为1， 圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y?x?1上， 过点A作圆C的切线， 求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M， 使MA?2MO， 求圆心C的横坐 标a的取值范围．
O A l x
高考数学含答案 - 图文
