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1.设
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第17章 多元函数微分学
12?22x?ysin,x?y?0???22x?yf?x,y????0,x2?y2?0?(1)求fx(x,y),fy(x,y)。
(2)fx(x,y),fy(x,y)在点(0,0)是否连续? (3)f(x,y)在点(0,0)是否可微。 解:(1)当x=y=0时,
f?x,0??f?0,0?fx?0,0??lim?limx?0x?0x同理fy(0,0)=0 当x2+y2≠0时,
x2sin1x2?limxsin1?0x?0xx2
2x?x?y?11fx?x,y??2?x?y?sin2?cos222222x?yx?y?x?y?2
fy?x,y??2?x?y?sin所以
11?cosx2?y2?x2?y2?2x2?y22y?x?y?2
2?2x?x?y?11222x?ysin?cos,x?y?0???22222?22x?yfx?x,y????x?y?x?y?220,x?y?0??
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 2?2y?x?y?11222x?ysin?cos,x?y?0???22222?22x?yx?yfy?x,y????x?y??22??0,x?y?0
(2)取
xn?则xn→0,yn→0(n→∞), 而
11,yn?2n?2n?
1??1?2?limfx?,?limsin2n??4n?cos2n??n???????n???2n?2n???n??
1??1?2?limfy?,?limsin2n??4n?cos2n??n???????n???2n?2n???n??
即?x,y???0,0?0)不连续。
(3)因为
limfx?x,y?与?x,y???0,0?limfy?x,y?都不存在,故fx(x,y),fy(x,y)在点(0,
?x,y???0,0?limf?x,y??f?0,0??fx?0,0?x?fy?0,0?yx?y22??x,y???0,0?lim?x?y?1sin2222x?yx?y2
而
0??x?y?22x2?y2?2xy2?x?y?122sin2???2x?y222x?yx?yx2?y2x2?y22
由迫敛性知
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 lim?x?y??x,y???0,0?1sin2?0222x?yx?y2
所以f(x,y)在点(0,0)可微。
2.设函数
1p?22x?ysin,当x?y?0时???22x?yf?x,y????22?0,当x?y?0时其中p∈N+,问:
(1)对于p的哪些值,f(x,y)在原点连续?
(2)对于p的哪些值,fx(0,0)与fy(0,0)都存在?
(3)对于p的哪些值,f(x,y)在原点有一阶连续偏导数?并给出证明。 解:(1)由0≤|f(x,y)|≤|x+y|p≤(|x|+|y|)p可知,当p∈N+且p≥1时,有
?x,y???0,0?即f(x,y)在原点连续。 (2)
limf?x,y??0?f?0,0?
f?0??x,0??f?0,0?fx?0,0??lim?x?0?x1p??x?sin?x1p?1?lim?lim??x?sin?x?0?x?0?x?x欲使上式极限存在,必须有p≥2,此时,fx(0,0)=0。 同理可知,当p≥2时,fy(0,0)=0。
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 (3)由(2)知,当p≥2时,有
111p?1p?22px?ysin?xx?ycos,x?y?0????3?2222?x?yx?yfx?x,y????x2?y2?2?22??0,x?y?0
而
0?fx?x,y??px?yp?1?xgx?yp?x2?y322??p?x?y?p?1x?y???p?1?x2?y322?,?p?2?
显然,上式右端第一项的极限为0,而欲使第二项的极限为0,必须让p≥3(对此可作极坐标变换),于是当p≥3且p∈N+时,fx(x,y)在原点连续,同理可证,当p≥3且p∈N+时,fy(x,y)在原点也连续。
3.设fx,fy在(0,0)点附近存在,且在(0,0)点可微,证明:fxy(0,0)=fyx
(0,0)。
证明:因为fx,fy在(0,0)点可微,所以fxx(0,0),fxy(0,0),fyx(0,0),fyy
(0,0)都存在。
下证:两个混合偏导数相等,由于
fyx?0,0??limfy?0??x,0??fy?0,0??x
?x?0fy?0??x,0??lim?y?0f?0??x,0??y??f?0??x,0??y
f?0,0??y??f?0,0?fy?0,0??lim?y?0?y
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www.100xuexi.com 因此
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 f?0??x,0??y??f?0??x,0??f?0,0??y??f?0,0?fyx?0,0??limlim?x?0?y?0?x?y1?limlim?fx?0??1?x,0??y??fx?0??1?x,0????x?0?y?0?y? (1)
其中0<θ1<1。
注意到fx在(0,0)点可微,我们有
fx?0??1?x,0??y??fx?0,0??fxx?0,0??1?x?fxy?0,0??y??1?1?x??2?y和
(2)
fx?0??1?x,0??fx?0,0??fxx?0,0??1?x??3?1?x (3)
其中α1,α2是(Δx,Δy)→(0,0)时的无穷小量,α3是Δx→0时的无穷小量。 将式(2)、式(3)两式代入式(1)可得
fyx?0,0??limlim1?fxy?0,0??y??1?1?x??2?y??3?1?x????x?0?y?0?y??x?x??limlim?fxy?0,0??y??1?1??2??3?1??x?0?y?0?y?y??令Δy=Δx→0,则α1,α2,α3→0,故有fxy(0,0)=fyx(0,0)。
4.设曲面z=f(x,y)二次可微,且?f/?y≥m>0,证明:对任给的常数c,f(x,y)=c为一条直线的充要条件是:
??f??2f?f?f?2f??f??2f?2gg????0??22?x?y?x?y??x??y??y??x
证明:?c,f(x,y)=c为一条直线,即由f(x,y)=c所确定的隐函数y=y(x)在xOy平面上表示一条直线,显然,y=y(x)是一条直线?d2y/dx2=0,而dy/dx=-(?
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