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1．设
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第17章 多元函数微分学
12?22x?ysin,x?y?0???22x?yf?x,y????0,x2?y2?0?（1）求fx（x，y），fy（x，y）。
（2）fx（x，y），fy（x，y）在点（0，0）是否连续？ （3）f（x，y）在点（0，0）是否可微。 解：（1）当x＝y＝0时，
f?x,0??f?0,0?fx?0,0??lim?limx?0x?0x同理fy（0，0）＝0 当x2＋y2≠0时，
x2sin1x2?limxsin1?0x?0xx2
2x?x?y?11fx?x,y??2?x?y?sin2?cos222222x?yx?y?x?y?2
fy?x,y??2?x?y?sin所以
11?cosx2?y2?x2?y2?2x2?y22y?x?y?2
2?2x?x?y?11222x?ysin?cos,x?y?0???22222?22x?yfx?x,y????x?y?x?y?220,x?y?0??
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 2?2y?x?y?11222x?ysin?cos,x?y?0???22222?22x?yx?yfy?x,y????x?y??22??0,x?y?0
（2）取
xn?则xn→0，yn→0（n→∞）， 而
11,yn?2n?2n?
1??1?2?limfx?,?limsin2n??4n?cos2n??n???????n???2n?2n???n??
1??1?2?limfy?,?limsin2n??4n?cos2n??n???????n???2n?2n???n??
即?x,y???0,0?0）不连续。
（3）因为
limfx?x,y?与?x,y???0,0?limfy?x,y?都不存在，故fx（x，y），fy（x，y）在点（0，
?x,y???0,0?limf?x,y??f?0,0??fx?0,0?x?fy?0,0?yx?y22??x,y???0,0?lim?x?y?1sin2222x?yx?y2
而
0??x?y?22x2?y2?2xy2?x?y?122sin2???2x?y222x?yx?yx2?y2x2?y22
由迫敛性知
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 lim?x?y??x,y???0,0?1sin2?0222x?yx?y2
所以f（x，y）在点（0，0）可微。
2．设函数
1p?22x?ysin,当x?y?0时???22x?yf?x,y????22?0,当x?y?0时其中p∈N＋，问：
（1）对于p的哪些值，f（x，y）在原点连续？
（2）对于p的哪些值，fx（0，0）与fy（0，0）都存在？
（3）对于p的哪些值，f（x，y）在原点有一阶连续偏导数？并给出证明。 解：（1）由0≤|f（x，y）|≤|x＋y|p≤（|x|＋|y|）p可知，当p∈N＋且p≥1时，有
?x,y???0,0?即f（x，y）在原点连续。 （2）
limf?x,y??0?f?0,0?
f?0??x,0??f?0,0?fx?0,0??lim?x?0?x1p??x?sin?x1p?1?lim?lim??x?sin?x?0?x?0?x?x欲使上式极限存在，必须有p≥2，此时，fx（0，0）＝0。 同理可知，当p≥2时，fy（0，0）＝0。
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 （3）由（2）知，当p≥2时，有
111p?1p?22px?ysin?xx?ycos,x?y?0????3?2222?x?yx?yfx?x,y????x2?y2?2?22??0,x?y?0
而
0?fx?x,y??px?yp?1?xgx?yp?x2?y322??p?x?y?p?1x?y???p?1?x2?y322?,?p?2?
显然，上式右端第一项的极限为0，而欲使第二项的极限为0，必须让p≥3（对此可作极坐标变换），于是当p≥3且p∈N＋时，fx（x，y）在原点连续，同理可证，当p≥3且p∈N＋时，fy（x，y）在原点也连续。
3．设fx，fy在（0，0）点附近存在，且在（0，0）点可微，证明：fxy（0，0）＝fyx
（0，0）。
证明：因为fx，fy在（0，0）点可微，所以fxx（0，0），fxy（0，0），fyx（0，0），fyy
（0，0）都存在。
下证：两个混合偏导数相等，由于
fyx?0,0??limfy?0??x,0??fy?0,0??x
?x?0fy?0??x,0??lim?y?0f?0??x,0??y??f?0??x,0??y
f?0,0??y??f?0,0?fy?0,0??lim?y?0?y
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www.100xuexi.com 因此
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 f?0??x,0??y??f?0??x,0??f?0,0??y??f?0,0?fyx?0,0??limlim?x?0?y?0?x?y1?limlim?fx?0??1?x,0??y??fx?0??1?x,0????x?0?y?0?y? （1）
其中0＜θ1＜1。
注意到fx在（0，0）点可微，我们有
fx?0??1?x,0??y??fx?0,0??fxx?0,0??1?x?fxy?0,0??y??1?1?x??2?y和
（2）
fx?0??1?x,0??fx?0,0??fxx?0,0??1?x??3?1?x （3）
其中α1，α2是（Δx，Δy）→（0，0）时的无穷小量，α3是Δx→0时的无穷小量。 将式（2）、式（3）两式代入式（1）可得
fyx?0,0??limlim1?fxy?0,0??y??1?1?x??2?y??3?1?x????x?0?y?0?y??x?x??limlim?fxy?0,0??y??1?1??2??3?1??x?0?y?0?y?y??令Δy＝Δx→0，则α1，α2，α3→0，故有fxy（0，0）＝fyx（0，0）。
4．设曲面z＝f（x，y）二次可微，且?f/?y≥m＞0，证明：对任给的常数c，f（x，y）＝c为一条直线的充要条件是：
??f??2f?f?f?2f??f??2f?2gg????0??22?x?y?x?y??x??y??y??x
证明：?c，f（x，y）＝c为一条直线，即由f（x，y）＝c所确定的隐函数y＝y（x）在xOy平面上表示一条直线，显然，y＝y（x）是一条直线?d2y/dx2＝0，而dy/dx＝－（?
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华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)配套题库-章节题库(第17~23章)【圣才出品】
