2024高考一轮复习 数学之 集合与常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲 集合及其运算

[回扣课本]认真阅读课本2-12页，依据以下目标背诵、记忆，并完成知识梳理。

1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系，理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 2.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 4.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. [知识梳理] 1．元素与集合

(1)集合中元素的三个特征：确定性、____、无序性．

(2)元素与集合的关系是____或_____关系，用符号__或___表示． (3)常见数集的记法

集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号

2．集合间的基本关系

表示关系 文字语言 符号语言 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 _______ 集合间的 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 ________ 基本关系 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且_______ B中至少有一个元素不是A中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语 符号语言 A∪B＝__________ A∩B＝__________ CuA＝___________

导师提醒

1．熟记三种集合运算的性质

(1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.

(2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.

(3)补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．

2．熟记集合基本关系的四个结论

(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．

(2)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.空集只有一个子集，即它本身．

(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A?B，B?C，则A?C；

(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．

3．关注两个易错点

(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性． [辨析感悟]

1

1．元素与集合的辨别

(1)若{x2, 1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )

(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.( ) (3)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．( ) (4)课本P7练习3

(5)课本P12页B组1( ) 2．对集合基本运算的辨别

(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)总成立．( )

(7)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(?RS)∪T＝{x|－4≤x≤1}．( ) (8)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则?RM＝{x|x＞1，或x＜－1}．( ) (9)课本P12页10

(10)课本P12页B组3 考点一 集合的基本概念

【例1】【2024高考全国卷Ⅱ】已知集合A?A．9

B．8

【训练2】(1) 【2014湖北卷3】设U为全集，A,B是集合，则“存在集合C使得A?C,B?CUC是“A?B??”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点三 集合的基本运算

【例3】(1) 【2016山东理数】设集合A?{y|y?2x,x?R},B?{x|x2?1?0}, 则AUB=( ) （A）(?1,1) （B）(0,1)（C）(?1,??)（D）(0,??)

【训练3】(1) 【2015高考福建，理1】若集合A?i,i2,i3,i4 （i 是虚数单位），B??1,?1? ，则

??AIB 等于 ( )

A．??1? B．?1? C．?1,?1? D．?

(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)＜1}，则A∩(?UB)＝________. 【自主体验】

??x，y?x

2?y≤3，x?Z，y?Z，则A中元素的个数为

D．4

2?1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )． A．3 B．6 C．8 D．10

2.(2017山东)设函数y=4-x2的定义域A，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则AIB=( ) （A）（1,2） （B）(1,2? （C）（-2,1） （D）[-2,1) 3．（2017全国II）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（ ） A．{1，﹣3} B．{1，0}

C．{1，3}

D．{1，5}

C．5

训练1.(1)(2017·济南调研)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是( ) A．9 B．8 C．7 D．6

(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________. 考点二 集合间的基本关系

【例2】 (1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(?UA)∩B＝?，求m的值．

2

4．（2017全国1）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ） A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}

D．A∩B=?

5.(2016·全国乙卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于( ) 3333

－3，－? B.?－3，? C.?1，? D.?，3? A.?2?2????2??2?

6.(2016·浙江)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(?RQ)等于( ) A．[2,3] B．(－2,3] C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)

7.已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B?A，则实数a的值为( ) A.1或－1 B．－132

3或12 C.13或－12或0 D．－11

3或2

或0

8.(2016·临沂模拟)已知A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( ) A．－1?A B．－11∈A C．3k2－1∈A(k∈Z) D．－34?A 9.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝?

??

0，b?a，b??

，则b－a＝________.

10.已知集合A＝{x|x2－2 017x＋2 016<0}，B＝{x|x

11. 已知集合A={x|x2

+4x=0,x∈R},B={x|x2

+2(a+1)x+a2

-1=0, a∈R,x∈R}.若A∪B=A,试求实数a的取值范围.

第一章 第1讲 集合及其运算

辨析感悟：（1）×（2）√（3）×（4）A是B的真子集，B是A的真子集，A与B相等）（5）4个 （6）√（7）×（8）√（9）CR(A?B)??x|x?2或x?10?，CR(A?B)??x|x?3或x?7?，

(CRA)?B??x|2?x?3或7?x?10?A?(CRB)??x|x?2或3?x?7或x?10?，

（10）当a=3时A?B??1,3,4?A?B??；当a=1时A?B??1,3,4?A?B??1?；当

a=4时A?B??1,3,4?A?B??4?；当a?1,3,4时A?B??1,3,4,a?A?B??

例1. A

训练1(1)B (2)0或9

8

解析 (1)当a＝0时，a＋b＝1,2,6； 当a＝2时，a＋b＝3,4,8； 当a＝5时，a＋b＝6,7,11.

由集合中元素的互异性知P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素．

(2)若a＝0，则A＝??2?

?3??

，符合题意；

若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝9

8.

综上，a的值为0或9

8

.

例2. (1)当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠?时，若B?A， ?m＋1≥－2，则?

?2m－1≤7，2

??m＋1<2m－1，

解得(2)A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A，

∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?. ∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；

③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.

【训练2】(1) C 例3. (1)C 【训练3】 (1)C (2){x|－1≤x≤2} 【自主体验】1. D 2.

.D 3.C 4.A 5D 6.B 7.D 8. C 9. 2 10. [2 016，＋∞)

11.因为A∪B=A,所以B?A,易知A={0,-4}.

(1)当A=B={0,-4}时,0,-4是方程x2

+2(a+1)x+a2

-1=0的两根,

所以???16?8(a?1)?a2?1?0,?a2?1?0,所以a=1.

?(2)当B

A时,有B≠?和B=?两种情况.①当B≠?时,B={0}或B={-4},

故方程x2

+2(a+1)x+a2

-1=0,有相等的实数根0或-4,所以Δ=4(a+1)2

-4(a2

-1)=0,所以a=-1, 所以B={0}满足条件.

②当B=?时,Δ<0,a<-1.综上知实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}

3