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第零章 数学准备
一 泰勒展开式
1 二项式的展开 2 一般函数的展开
特别:x0?0时,
f??0?f???0?2f????0?3f?x??f?0??x?x?x?1！2！3!
3 二元函数的展开(x=y=0处)
评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线
性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。
二 常微分方程
1 一阶非齐次常微分方程：
?P?x?dx??P?x?dxdx? c?Qxe通解：y?e????????注：??P?x?dx,?Q?x?e?常数。
P?x?dxdx积分时不带任意常数，Q?x?可为
2 一个特殊二阶微分方程 通解：y=Kcos?Ax+?0??B A2 注：K,?0为由初始条件决定的常量 3 二阶非齐次常微分方程
通解：y?y?y*；y为对应齐次方程的特解，y*为非齐次方程的一个特解。
非齐次方程的一个特解
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（1） 对应齐次方程
设y?e?x得特征方程?2?a??b?0。解出特解为?1，?2。 *若?1??2?R则y1?e?x，y2?e?x；y?c1e?x?c2e?x
1212*若?1??2?R则y1?e?x，y2?xe?x； y?e?x(c1?xc2)
111*若?12????i则y1?e?xcos?x，y2?e?xsin?x；
y?e?x(c1cos?x?c2sin?x)
（2） 若f?x??a0x2?b0x?c0为二次多项式
*b?0时，可设y*?Ax2?Bx?C *b?0时，可设y*?Ax3?Bx2?Cx?D
注：以上c1,c2,A,B,C,D均为常数，由初始条件决定。
三 矢量
1 矢量的标积
注：常用于一矢量在一方向上的投影 2 矢量的矢积
四 矩阵
此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。
?a11令D???a21?a?31a12a22a32a13??a23? a33??*D=0时，方程组有非零解 *D?0时，方程只有零解
第一章 牛顿力学的基本定律
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万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑起，三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更是风光占尽。
【要点分析与总结】 1 质点运动的描述
（1） 直线坐标系 （2） 平面极坐标系 （3） 自然坐标系 （4） 柱坐标系
〈析〉 上述矢量顺序分别为：i,j,k;er,e?,ek;et,en,eb;e?,e?,ez.
der??ek?er??e?dtde矢量微分：???ek?e????er
dtdek??ek?ek?0dt（其它各矢量微分与此方法相同） 微分时一定要注意矢量顺序
2 牛顿定律
惯性定律的矢量表述 （1） 直角坐标系中 （2） 极挫标系中 （3） 自然坐标系中 3 质点运动的基本定理
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几个量的定义：
动量 P?m? 角动量 L?r?m??r?P 冲量 I?P2?P1 力矩 M?r?F 冲量矩 H?I2?I1??tMdt
1t2动能 T?m?2
（1） 动量定理 F?dP dtdP??Fe??0 edt12?方向上动量守恒： e（2） 动量矩定理 M?dL dt（3） 动能定理 F??m4机戒能守恒定理 T+V=E
〈析〉势函数V: dV?d?dT ??dtdt?V?V?Vdx?dy?dz??Fdr ?x?y?zdV?x?dxx?x0稳定平衡下的势函数：
?0;
dV2?x?dxx?x0?0
此时势能处极小处Vm
?VM?E?0质点再平衡点附近振动? 且能量满足?0?E质点逃逸-?
?V?E质点逃逸+??m【解题演示】
1 细杆OL绕固定点O以匀角速率?转动，并推动小环C在固定的
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钢丝AB上滑动，O点与钢丝间的垂直距离为d，如图所示。求小环的速度?和加速度a。
解：依几何关系知：x?dtan?
d?d2?x2?i 又因为：??xi?2i?cos?d2(d2?x2)x2?i 故：a???2xxi?dd2?2 椭圆规尺AB的两端点分别沿相互垂直的直线Oχ与Oy滑动，已知B端以匀速c运动，如图所示。求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度及加速度的大小υ与α。 解：依题知：yB?(b?d)cos? 且：yB??C??(b?d)?sin? 得：??C(b?d)sin?*
又因M点位置：xM?bsin?,yM?dcos? 故有：?M?xMi?|yMj?b?cos?i?d?sin?j
代入（*）式得：?M?即：??bccot?dci?j b?db?dcb2cot2??d2 b?d3 一半径为r的圆盘以匀角速率?沿一直线滚动，如图所示。求
圆盘边上任意一点M的速度?和加速度a（以O、M点的连线与铅直线间的夹角θ表示）；并证明加速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。
解：设O点坐标为（?Rt?x0,R）。则M点坐标为
（?Rt?x0?Rsin?,R?Rcos?）
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陈世民理论力学简明教程(第二版)课后答案
