第六节二次函数
一、基础知识批注——理解深一点
1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)＋k(a≠0)； 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函数的图象与性质
二次函数系数的特征 (1)二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小； (2)－的值决定图象对称轴的位置； 2a(3)c的取值决定图象与y轴的交点； (4)b－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数． 解析式 222
2
bf(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) ?4ac－b，＋∞? ?4a?????在?－，＋∞?上单调递增；在?2a??－∞，－b?上单调递减 ??2a??b2?－∞，4ac－b? ??4a??在?－∞，－?上单调递增；在2a??2?b?单调性 ?－b，＋∞?上单调递减 ?2a???2奇偶性 顶点 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 ?－b，4ac－b? ?2a4a???对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 2ab二、常用结论汇总——规律多一点
1．一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”． (2)“ax＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”． 2．二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]． (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；
2a2
22
bbm＋n?b?(2)当m<－≤时，最小值为f?－?，最大值为f(n)； 2a2?2a?
(3)当m＋nb<－≤n时，最小值为f?－?，最大值为f(m)； 22a?2a?
b?
b?
(4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． 2a三、基础小题强化——功底牢一点
一判一判对的打“√”，错的打
2
(1)二次函数y＝ax＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
4ac－b(2)二次函数y＝ax＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
4a2
2
(3)a＝1是函数f(x)＝x－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数的充分不必要条件．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (二)选一选
1．若二次函数y＝2x＋bx＋c关于y轴对称，且过点(0,3)，则函数的解析式为( ) A．y＝2x＋x＋3 C．y＝2x＋x－3
22
2
2
B．y＝2x＋3 D．y＝2x－3
2
2
解析：选B 由题可知函数y＝f(x)为偶函数，则b＝0.又过点(0,3)，则c＝3，故解析式为y＝2x＋3.
2．若函数y＝x－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是( ) A．(－∞，1] C．(－∞，－1]
2
2
2
B．[1，＋∞) D．[－1，＋∞)
解析：选A 函数y＝x－2tx＋3的图象开口向上，以直线x＝t为对称轴．又函数y＝
x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t≤1.
3．已知函数f(x)＝ax＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( ) 1??A.?0，? ?20?C.?
1?? B.?－∞，－? 20?? D.?－
2
?1，＋∞?
?
?20??1，0?
?
?20?
??a>0，
解析：选C 由题意知?
?Δ<0，?
??a>0，
即?
?1－20a<0，?
1
解得a>.
20
(三)填一填
4．函数y＝－x＋4x－2在区间[1,4]上的最小值为________．
解析：函数y＝－x＋4x－2的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，所以当x＝4时，y的最小值为－2.
答案：－2
5．已知f(x)＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1，2a]，则y＝f(x)的值域为________．
解析：因为f(x)＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，所以其定义域[a－1,2a]关于原点对称，12
所以a－1＝－2a，所以a＝，因为f(x)＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，即f(－x)＝f(x)，
3
12?22??31?所以b＝0，所以f(x)＝x＋1，x∈?－，?，其值域为?1，?. 3?33??27?
2222
?31?答案：?1，?
?27?
考点一 求二次函数的解析式
求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同.
[典例] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
2024高考数学一轮复习(通用版·讲义)2.6二次函数
