第33届全国中学生物理竞赛复赛试题(题目word版)-+答案

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第 33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题

2016 年 9 月 17 日

一、（20 分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为 R1 、

R2 ，且两柱面外切；其剖面（平面）

分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点 O 为直角坐标系 O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点 O 的母线为 X 轴，上侧柱面过切点 O 的母线为 Y 轴。一束在真空中波长为的可见光沿 Z 轴负

方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着 Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在 X-Y 平面的投影。 R1 和 R2 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为 n0 X-Y 平面的投影的曲线方程。

已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为 π 的相位突变。b. sin x x, 当 x 1 。

。试推导第 k 级亮纹在

二、（20 分）某秋天清晨，气温为 C ，一加水员到

实验园区给一内径为 m 、高为 m 的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为

cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短），顶部与大气相通，如图所示。加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为 m 。

（1）从清晨到中午，气温缓慢升至 C ，问此时观察柱内水位为多少假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。（2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少求这个过程中罐内空气的热容量。

已知罐外气压始终为标准大气压p0?1.01?105pa, 水在时的密度为?0?1.00?103kg?m?3系数为为

水在温度变化过程中的平均体积膨胀

4 K 1，重力加速度大小为g?9.80m?s?2，绝对零度

三、（20 分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的 318 倍）。假设地球与木星均沿圆轨道绕太阳转动，两条轨道在同一平面内。将太阳、地球和木星都视为质点，忽略太阳系内其它星体的引力；且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略。已知太阳和木星质量分别为 ms 和 m j ，引力常量为 G 。地球和木星绕太阳运行的轨道半径分别是 re 和

rj 。假设在某个时刻，地球与太阳的连线和木星与太阳的连线之间的夹

角为。这时若太阳质量突然变为零，求

（1）此时地球相对木星的速度大小 vej 和地球不被木星引力俘获所需要的最小速率 v0 。

（ 2 ）试讨论此后地球是否会围绕木星转动，可利用（ 1 ）中结果和数据 m 1030 kg 、

1027 kg 、木星公转周期 T 12 y 。

四、（20 分）蹦极是年轻人喜爱的运动。为研究蹦极过程，现将一长为 L 、质量为 m 、当仅受到绳本身重力时几乎不可伸长的均匀弹性绳的一端系在桥沿 b，绳的另一端系一质量为 M 的小物块（模拟蹦极者）；假设 M 比 m 大很多，以至于均匀弹性绳受到绳本身重力和蹦极者的重力向下拉

时会显著伸长，但仍在弹性限度内。在蹦极者从静止下落直至蹦极者到达最下端、但未向下拉紧绳之前的下落过

程中，不考虑水平运动和可能的能量损失。重力加速度大小为 g 。

）时的速度和加速度的

（1）求蹦极者从静止下落距离 y （ y L

大小，蹦极者在所考虑的下落过程中的速度和加速度大小的上限。

）时，绳在其左端悬点 b