课堂导学
三点剖析
一、椭圆的几何性质
【例1】 已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m＞0)的离心率e=焦点坐标、顶点坐标.
3,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、2x2y2?解析：椭圆的方程可化为：=1
mmm?3∵m?mm(m?2)m ??0 ∴m＞
m?3m?3m?3m22,c=a?b?m?3
m(m?2)
m?3即a2=m,b2=
由e=
3m?23得? ∴m=1 2m?322y2?1. ∴椭圆的标准方程为x?14∴a=1 b=
31. c=2233，0)，F2(，0)，四个顶22∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1(-点分别为A1(-1，0) A2(1，0) B1(0，-
11) B2(0，). 22二、求椭圆的离心率
【例2】在Rt△ABC中，AB=AC=1.如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为( ) A.6?3B.2-1C.
636D.3?
22解析：设另一个焦点为C′，则有
AC+AC′=2a,BC+BC′=2a, 又∵BC=2，BC′=1-AC′，
?1?AC??2a,22?2∴?解得AC′=，a=,
42?2?1?AC??2a,c?AC2?AC?2?21?12?6, 24∴离心率e=
c?6?3,故选A. a答案：A 温馨提示
本题运用椭圆的定义、离心率公式先列出关于某些特征量的方程组，然后通过解方程求出这些特征量，最后求出离心率的值，这是解圆锥曲线问题的常用方法. 三、离心率的应用
【例3】 已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭
2,求椭圆的方程. 32解析：∵椭圆的长轴长是6,cos∠OFA=,
3圆的长轴长是6，且cos∠OFA=∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点). ∴|OF|=c,|AF|=a=3, ∴
c2?.∴c=2,b2=32-22=5. 33x2y2x2y2??1或??1. ∴椭圆的方程是9559温馨提示
△OFA是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b、c,斜边的长为a,∠OFA的余弦值是椭圆的离心率.
各个击破 类题演练1
求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.
y22
解：把已知方程化成标准方程：+x=1,
25这里a=5,b=1,所以c=25?1=26.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=2,两个焦点分别是F1(0，-26)、F2(0，26)，椭圆的四个顶点是A1(0，-5)、A2(0，5)、B1(-1，0)和B2(1，0).
变式提升1
已知点P(3，6)在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据P点的坐标最多可写出椭圆上几个点的坐标(P点除外)？这几个点的坐标是什么？
解：根据椭圆关于两坐标轴对称及P点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标.这三个
点的坐标分别是(3，-6)、(-3，-6)、(-3，6).
类题演练2
x2y2设椭圆2?2=1(a＞b＞0)的右焦点为F1，右准线为l1,若过点F1且垂直于x轴的弦长等于
ab点F1到准线l1的距离，则椭圆的离心率是_________.
2b2解析：由题意知，过F1且垂直于x轴的弦长为
a2b2a2??c ∴ac21? acc11∴? 即e=
2a21∴应填：
2∴
变式提升2
x2y2x2y2椭圆2?2?1和2?2?k(k＞0)具有( )
ababA.相同的长轴长 B.相同的焦点 C.相同的离心率 D.相同的顶点
x2y2解析：2?2=k可化为
abx2y2?2=1 2kakbx2y2故与2?2=1有相同的离心率
ab答案:C
类题演练3
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程.
1，又知椭圆上一点M，它的横坐标等3解：∵e=13,∴b228a2?1?e?9.
x2y2∴可设所求椭圆方程为9t?8t=1(t＞0), ∴c2=9t-8t=t,c=t,M(t,4).
∵M在椭圆上，∴(t)2429?8?t, ∴t=9x24.故所求椭圆的方程是
81?y218?1. 4
变式提升3
若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)、F2(3，0)，则其离心率为(A.
324B.3C.12D.14 解析：由F1，F2的坐标得2c=3-1 ∴c=1 ∵椭圆过原点a-c=1 a=1+c=2 ∴e=c1a?2 故选C
)
数学人教B版选修1-1学案：课堂导学 2.1.2 椭圆的几何性质(一) Word版含解析
