对数函数及其性质
1．对数函数的概念
(1)定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的特征：
logax的系数：1??
特征?logax的底数：常数，且是不等于1的正实数
??logax的真数：仅是自变量x
判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．
比如函数y＝log7x是对数函数，而函数y＝－3log4x和y＝logx2均不是对数函数，其原因是
不符合对数函数解析式的特点．
【例1－1】函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝__________． 解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0,1．又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1．答案：1
!
【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y＝loga
x(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)； (5)y＝log6x． 解析：
序号 是否 理由 ~ (1) × 真数是x，不是自变量x 对数式后加2 真数为x＋1，不是x，且系数为8，不是1 底数是自变量x，不是常数 底数是6，真数是x (2) (3) (4) >× × × √ (5) 2．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与性质
(1)图象与性质 < 0＜a＜1 a＞1 图 象 (1)定义域{x|x＞0} ( (2)值域{y|y?R} 性 质 (3)当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) (4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0 (5)在(0，＋∞)上是增函数 (4)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0 (5)在(0，＋∞)上是减函数 谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．
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(2)指数函数与对数函数的性质比较
解析式 定义域 {y＝ax(a＞0，且a≠1) R (0，＋∞) (0,1) y＝logax (a＞0，且a≠1) (0，＋∞) R (1,0) 值域 性 质 过定点 单调性 奇偶性 单调性一致，同为增函数或减函数 奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数
(3)底数a对对数函数的图象的影响
①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
【例2】如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象．已知a从则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为( )
4313，，，中取值，
3510
A．…
4314133，，， B．3，，，
35103105431413，3，， D．，3，， 35103105 C．
解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜C3的底数＜C2的底数＜C1
的底数．故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是4313，，，．答案：A
3510点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法 (1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x轴上方“底大图右”，在x轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．
3．反函数
(1)对数函数的反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数． (2)互为反函数的两个函数之间的关系
①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：
【
①由y＝f(x)解出x，即用y表示出x； ②把x替换为y，y替换为x；
③根据y＝f(x)的值域，写出其反函数的定义域．
【例3－1】若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
对数函数性质及练习(有答案)
