实用文档
2a?v-b??2aR?TRT??p???p???T? （3） ???????????????233?v?T?vv-bv-bRvv??T??v??p?v-b???将?R??p?=和（3）代入（1）得 ??Tv-b??vdp?RRT2aRTa?RTa?dT?dv?dv?d?d?d?2? ?232v-bvv-bvv-bv???v-b?a?RTa??2，即：?p?2??v-b??RT
v?v-bv?积分得： p?11.将空窖辐射视为平衡态光子气体系统，导出普朗克黑体辐射公式：
VU(?,T)d??23?ce?3?/kT?1d?
解：在体积V内，动量在p~p+dp 范围的光子的量子态数为
8?Vp2dp 3h因为，光子气体是玻色系统遵从玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上平均光子数为
?1??
又 p==cc所以，在体积V内，圆频率在?~?+d?范围内的光子的量子态数为
328?VV??2d?
D(?)d??3??d??323hc?c2V?d? 在此范围内的光子数为 N?d??f?D(?)d??23??/kT?ce?1故，在此范围内的辐射能量为：
f?1e?/kT
U(T,?)d??
12.单原子分子理想气体孤立系统的可能的微观运动状态数为：
??N?d??V?23?ce?3?/kT?1d???3N?E???(E)， 2EN3N/2?V?(2?mE)其中??????3?。由此导出系统熵的表达式：
?h?N!(3N/2)!?V?4?mE?3/2?5S?Nkln????Nk 2?N3h??????2解： ln??ln?标准文案
V?3N??E??3N?3/2?Nln?Nln(2?mE)?ln(N!)?ln!? ??3h?2E??2?实用文档
∵N??1，∴ ln(N!)?NlnN?N，ln??3N?3N3N3N !??ln?2222???V?4?mE?3/2?5N?3N??E?∴ln??ln? ????Nln??2?2EN3Nh2????????∵?E~h，N~1023，kT~10?21，E~102，ln3N??E~10?13?0 2E?V?4?mE?3/2?5N∴ln??Nln?? ??2??N?3Nh???2?由玻耳兹曼关系：S?kln?，得：
?V?4?mE?3/2?5S?Nkln????Nk 2???N?3Nh???213.试用麦克斯韦关系，导出方程TdS?CVdT?T???p??dV，假定CV可视为常量，由此??T?V导出理想气体的绝热过程方程TV??1?C（常量）。 解：∵dS??∴TdS?T???S???S?dT????dV，
??T?V??V?T??S???S???S?dT?TdV?CdT?TV?????dV
??T?V??V?T??V?T??S???p???p??TdS?CdT?T，V?????dV ?V?T?T??T??V??VnRnR??p?? T，???TVV??V由麦氏关系?绝热过程dS?0，理想气体p?CVdTdV?nR?0积分得CVlnT?nRlnV?C'（常量） TV∵Cp/CV??，nR?Cp?CV?CV(??1) 故：lnTV??1?C'，即：TV??1?C（常量）
14. 证明，理想气体的摩尔自由能为： 证明：选T, V 为独立变量，则
?pdu?cVdT??T??T??V?p?dv,?ds?cV?pdT?T?T??Vdv
理想气体的物态方程为：pv?RT
标准文案
实用文档
????p?TVcVdT?Rdv ?R ， du?cVdT，ds?TvvcV?TdT?Rlnv?s0 ?c?f?u?Ts??cvdT?T?vdT?RTlnv?u0?Ts0
T故: u?cVdT?u0 ，s0?
15. 证明: ???????V??n??P?T,n??,
TP证明：选T, V 为独立变量，则
dG??SdT?Vdp??dn
????G?n?G而?p??T,nT,p,????p?T,n????G???n?p??V?n???? T,n?T,p
?????V， 故
?p??T,n??T,p16. 导出爱因斯坦固体的熵表达式：S?3Nk???????e?1?ln1?e??????? ?解：设固体系统含有N个原子，按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子
的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：
???(n?1),(n?0,1,2,2则，振子的配分函数为：
?1??2)
?1??en?0????(n?1)2?e1?e???
ln?1??1???ln(1?e???),2?S?3Nk(ln?1???ln?1?
??1??????2e?1?ln?1?????)?3Nk[???ln(1?e)] ??e?117.已知处在平衡态的孤立的玻耳兹曼系统，其可能的微观运动状态数由麦克斯韦-玻耳兹曼系统计公式给出：??N!?l试由玻耳兹曼系统的熵的统计表达式a?l。?al!ll???S?Nk?lnZ1??lnZ1?导出玻耳兹曼关系S?kln?
????，
标准文案
实用文档
18.平衡态的玻色系统可能的微观运动状态数由玻-爱统计公式??(?l?al?1)!给?al!(?l?1)!l出：试由此和玻色系统的熵的统计表达式S?k?ln???ln???ln??导出玻耳
????，??兹曼关系S?kln?。
19.平衡态的费米系统可能的微观运动状态数由费-狄统计公式???????a!(?ll?l!l?al)!给
出：试由此和玻色系统的熵的统计表达式S?k?ln???ln???ln??导出玻耳????，??兹曼关系S?kln?。
????标准文案
热力学统计物理精彩试题
