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12.由热力学方程dF??SdT?pdV可得麦克斯韦关系 （A）???T???T???p???V???????? （B）??? ???V?S??S??V??p?S??S?p（C）???S???p???S???V??? （D）???? ???????T?V??V??T??T?p??p?T13.已知粒子能量表达式为
??1222(px?py?pz)?ax2?bx 2m其中a、b为常量，则依据能量均分定理粒子的平均能量为
b235（A）kT （B）2kT （C）2kT? （D）kT
4a2214.具有确定的粒子数、确定的体积、确定的能量的系统满足
（A）微正则分布 （B）正则分布 （C）巨正则分布 （D）以上都不对 15.玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Z1表示的内能是 （A）U??Z1（C）U???lnZ1?lnZ1 （B）U??N ????1?lnZ1N?lnZ1 （D）U??
??????16.不考虑粒子自旋，在长度L内，动量处在px~px?dpx范围的一维自由粒子的可能的量子态数为 （A）
LL2L2Ldp （B）dpx （C）dpx dp （D）hhhh17.均匀开系的热力学基本方程是
（A）dF??SdT?pdV??dn （B）dG??SdT?Vdp??dn （C）dU?TdS?pdV??dn （D）dH?TdS?Vdp??dn 推导与证明
1. 证明: CP?CV?T?证：CP?CV?T???P???V???? ?T?T??V??P??S???S??T??? （1）
??T?P??T?V
∵ S(T,p)?S(T,V(T,p))
??S???S???S???V??????????? （2） ?T?T?V?T??P??V??T??P标准文案
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（2）代入（1）
??S???V?CP?CV?T???? （3）
?V?T??V??P将麦氏关系：???S???P?代入（3）得 ??????V?T??T?V
??P???V?CP?CV?T????
??T?V??T?P2.证明，0K时电子气体中电子的平均速率为v?3PF (PF为费米动量 )。 4m1(???(0))证明：∵ 0K时，f?? ??0(???(0))在单位体积内，动量在p~p?dp 范围内的电子的量子态数为:在此范围内的电子数为:
8?p2dp 3hdNp?f?8?p2dp
h3p?1N?pdNp??h8?h?338?PF0PF0?3PFp2dp4p3dp
?v?p?3P m4F3.一容积为V的巨大容器，器壁上开有一个极小的孔与外界大气相通，其余部分与外界绝热。
开始时，内部空气的温度、压强与外界相同为T0,P0 。假定空气可视为理想气体，且定压摩尔热容量cp为常量。给容器内的空气以极其缓慢的速率均匀加热，使其温度升至T 。证明，所需热量为 Q?P0VcPT。 lnRT0证明：系统经历准静态过程，每一中间态均可视为平衡态
对于容器内的气体，初态 ：P0V?n0RT，任一中间态 ：P0V?n(T)RT
?n(T)?即： QT0Tn0， Q??Tn(T)?cpdT0TT?T0n0cp?dT?T0n0cplnT
T0TT0?PV0cpRlnTT0
4.将空窖辐射视为平衡态光子气体系统，光子是能量为子态上平均光子数f??的玻色子，由玻色分布，每个量
1e?/kT?1，试导出普朗克黑体辐射公式：
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VU(?,T)d??23?ce?3?/kT?1d?
解：在体积V内，动量在p~p+dp 范围的光子的量子态数为：
8?Vp2dp 3h??
由圆频率与波矢关系：?=ck及德布罗意关系，可得：p==cc故，在体积V内，能量在?~?+d?范围内的光子的量子态数为：
V??d??V??2d?
D(?)d??8?3323hc?c在此范围内的光子数为：
32?N?d??f?D(?)d??V?d? 23?/kT?ce?1故，在此范围内的辐射能量为：
32U(T,?)d????N?d??V?23?ce??/kT?1d?
5.证明焓态方程：???H???V??V?T??? ?p?T??p??T证：选T、p作为状态参量时，有
??H???S???H???S? （1） dH??dT?dpdS?dT?????dp（2） ?????T?p??T?p??p?T??p?T而， dH?TdS?Vdp （3）
???S????S?（2）代入（3）得： dH?T??dT??V?T???dp （4）
?T??p??p?T??比较（1）、（4）得：???S???H???S???H? （5） ?T?V?T??（6） ???????V?T??T?p??T?p??p?T将麦氏关系???S???V?，即得 ?????代入（6）
?p?T??p??T??H???V??V?T??????V?T??T?p
6.证明能态方程：???U???p??T????p ?V?T??T??V证：选T、V作为状态参量时，有
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??U???U???S???S?dU??dT?dVdS?dT? （1） ???????dV（2）
?T?V?T?V??V??T??V??T而， dU?TdS?pdV （3） （2）代入（3）得： dU?T????S????S?dT?T?pdV （4） ???????T?V???V?T?比较（1）、（4）得：???U???S???U???S??T?T （5） ????????p（6）
??T?V??T?V??V?T??V?T将麦氏关系???S???p?，即得 ????代入（6）
?V?T??T??V??U???p??T?????p ?V?T??T??V
7.证明，对于一维自由粒子，在长度L内，能量在ε~ε?dε的范围内，可能的量子态数为
D???d??L(2m)1/2??1/2d?。 hdxdpx。 h证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积元dxdpx内的可能的量子态数为
因此，在长度L内，动量大小在p~p?dp范围内粒子的可能的量子态数为
2Ldp hm12d? p，dp?2?2m故，在长度L内，能量在ε~ε?dε范围内，可能的量子态数为
而，??D???d??2L(2m)1/2??1/2d?。 h8.证明，对于二维自由粒子，在面积L内，能量在ε~ε?dε范围内，可能的量子态数为
2?mL2D???d??d?。 2h证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于二维自由粒子，在相空间体积元
h22因此，在面积L内，动量大小在p~p?dp范围内粒子的可能的量子态数为
2?L2pdp 2hdxdydpxdpy内的可能的量子态数为
dxdydpxdpy。
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12p，pdp?md? 2m故，在面积L2内，能量在ε~ε?dε范围内，可能的量子态数为
而，??2?mL2D???d??d?。 2h9．导出含有N个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式：
N?U?3N??32e???1?E/T??E?eCV?3Nk???T?e?E/T?1 ，
2??2
解：按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：??(n?1/2)?则，振子的配分函数为：Z1?∵lnZ1??(n?0,1,2)
?en?0????(n?1/2)?e???/2??(en?0????ne???/2)? ???1?e1???ln(1?e???) 2?lnZ133N?e???33N??N???N??∴U??3N ??21?e???2e???11??U?e????U???? CV?????2??????3Nk?2?TkT????V?kT?(e?1) ??V?E/T??E?e引入爱因斯坦特征温度?E：??k?E，即得：CV?3Nk???T?e?E/T?122??2
10．.对于给定系统，若已知 ?态方程。
2a?v-b?RT??p???T?=，，求此系统的物=????3Rv??T?vv-b??v?pv-b解：设物态方程为p?p(T,v)，则
??p???p?dp??dT????dv （1）
?T??v??v?T??p???T???V?∵????1 ??????T?v??v?p??p?T??p???p???T?∴???????? （2）
?v?T?v??T??v??p2a?v-b?RT??p???T?=将?和?代入（2）得 ???=Rv3??T?vv-b??v?pv-b标准文案
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