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高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷
一、 选择题（每题5分，共60分）
1.满足f(x)=f?(x)的函数是 A . f(x)＝1－x
3
C . f(x)＝0
D . f(x)＝1
B. f(x)＝x
2.曲线y=4x?x在点（－1，－3）处的切线方程是 A . y=7x?4
B. y=7x?2 C. y=x?4 D. y=x?2
3.若关于x的函数y=mx2m?n的导数为y?=4x,则m?n的值为
A. ?3 B. ?1 C. 1 D . 3 4.设y=x?lnx，则此函数在区间(0,1)内为
A．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定
5. 已知f(x)=3x·sinxx，则f?(1)=
111+cos1 B. sin1+cos1 C. sin1-cos1 D.sin1+cos1 3333
6．函数f(x)＝x－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是
A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－19
7．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，
A .
则
A f(x)=g(x) B f(x)－g(x)为常数函数 C f(x)=g(x)=0 D f(x)+g(x)为常数函数
8.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数
f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 yy=f?(x)A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 9．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图a象如图1所示，则导函数y=f?(x)可能为 （ ） y y 10y ．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶数，当x <0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0， x x O 且g(?3)=O f(x)g(x)<0O 的解集是 x 0，则不等式 O x bOy x函A . (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3) A C D B ，+∞) D. (C . (－∞，－3)∪(3－∞，－3)∪(0，3) 11.给出以下命题：
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⑴若
?baf(x)dx?0，则f(x)>0； ⑵?2?0sinxdx=4;
⑶已知F?(x)=f(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
?a0f(x)dx=?a?TTf(x)dx；
12.已知函数f(x)=x2?bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3，数列?的前n项和为Sn,则S2011的值为（ ）
?1?? f(n)??A.20082009B.20092010C.20102011D.2011 2012二.填空题（每题5分，共20分）
13.若f(x)=x3?3ax2?3(a?2)x?1有极大值和极小值，则a的取值范围是__ 14.函数f(x)=2x?6x?m(m为常数） 在[?2，那么此函数在[?2，2]上有最大值3，2] 上的最小值为_____
15.周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 16.已知f(x)为一次函数，且f(x)=x?232?10f(t)dt，则f(x)=______ .
三．解答题（共70分）
17. (本小题满分10分)
已知曲线 y=x?x?2 在点 P0 处的切线 l1 平行直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限.
（1）求P0的坐标；
（2）若直线 l?l1 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.
18．（本小题满分12分）
将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？ 19.(本小题满分12分)
已知a为实数，f(x)=(x?4)(x?a) （1）求导数f?(x)；
（2）若f?(?1)=0，求f(x)在[－2，2] 上的最大值和最小值； （3）若f(x)在(??,?2)和(2,??)上都是递增的，求a的取值范围.
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20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ln(x?1)?x．
（1）求函数f(x)的单调递减区间； （2若x??1，证明：1?1?ln(x?1)?x． x?11?af?(x)(x?0) f?(x)21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=lnx(x?0),函数g(x)=（1）当x?0时,求函数y=g(x)的表达式;
（2）若a?0,函数y=g(x)在(0,??)上的最小值是2 ,求a的值; （3）在⑵的条件下,求直线y=22．(本小题满分12分)
若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：则称直线l:y=kx?b为f(x)和g(x)的“隔离直线”．已f(x)?kx?b和g(x)?kx?b，
知h(x)=x，?(x)=2elnx(e为自然对数的底数)． （1）求F(x)=h(x)??(x)的极值；
（2）函数h(x)和?(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
227x?与函数y=g(x)的图象所围成图形的面积. 36《导数及其应用》参考答案【理科】
一、选择题 CDBCB BBADD BD
二.填空题
13.a?2 或a??1 14. ?37 15.
40002
? cm 16. f(x)=x?1 27三．解答题
32
17.解:⑴由y=x+x－2，得y′=3x+1，
2
由已知得3x+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4. 又∵点P0在第三象限, ∴切点P0的坐标为 (－1,－4). ⑵∵直线l?l1,l1的斜率为4,∴直线l的斜率为?∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l的方程为y?4=?1, 41(x?1)即x?4y?17=0. 418．解：设小正方形的边长为x，则盒底的边长为a－2x，
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a∴方盒的体积V=x(a?2x)2(x?(0,)),
2V'=(a?2x)(a?6x),令V'=0,则x1=aaaaa,x2=,由x1=?(0,),且对于x?(0,),V'?0,26226 x?(aa6,a2),V'?0,∴函数V在点x＝6处取得极大值，由于问题的最大值存在， ∴V(a3
6)＝2a27即为容积的最大值，此时小正方形的边长为a6
．
19. 解：⑴由原式得f(x)=x3?ax2?4x?4a,∴f?(x)=3x2?2ax?4.
⑵由f?(?1)=0 得a=
12,此时有f(x)=(x2?4)(x?12),f?(x)=3x2?x?4. 由f?(x)=0得x=43或x=-1 , 又f(45093)=?27,f(?1)=2,f(?2)=0,f(2)=0,
所以f(x)在[－2,2]上的最大值为9502,最小值为?27.
⑶解法一:f?(x)=3x2?2ax?4的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得 f?(?2)?0,f?(2)?0, 即
?48a??4a8??00 ∴－2≤a≤2.
所以a的取值范围为[－2,2]. 解法二:令
f?(x)=0即3x2?2ax?4=0, 由求根公式得x=a?a2?121,23(x1?x2)
所以f?(x)=3x2?2ax?4.在???,x1?和?x2,???上非负.
由题意可知,当x??2或x…2时, f?(x)≥0, 从而x1…?2, x2?2,
即??a2?12?a?6?12?6?a. 解不等式组得－2≤a≤?a22.
∴a的取值范围是[?2,2].
20.解：⑴函数f(x)的定义域为(?1,??)．f?(x)＝1x?1－1＝－xx?1. 由f?(x)<0及x>－1，得x>0．
∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）． ⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，f?(x)＞0，当x∈（0，＋∞）时，f?(x)＜0，鑫达捷
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因此，当x??1时，f(x)≤f(0)，即ln(x?1)?x≤0∴ ln(x?1)?x．
11x1?＝． ?1，则g?(x)=x?1(x?1)2(x?1)2x?1∴ 当x∈（－1，0）时，g?(x)＜0，当x∈（0，＋∞）时，g?(x)＞0．
11∴ 当x??1时，g(x)≥g(0)，即 ln(x?1)?． ?1≥0，∴ ln(x?1)?1?x?1x?11综上可知，当x??1时，有1??ln(x?1)?x．
x?1令g(x)=ln(x?1)? 21.解:⑴∵f(x)=lnx,
∴当x?0时,f(x)=lnx; 当x?0时,f(x)=ln(?x)
111; 当x?0时,f?(x)=?(?1)=. x?xxa∴当x?0时,函数y=g(x)=x?.
xa⑵∵由⑴知当x?0时,g(x)=x?,
x∴当x?0时,f?(x)=∴当a?0,x?0时, g(x)≥2a当且仅当x=a时取等号.
∴函数y=g(x)在(0,??)上的最小值是2a,∴依题意得2a=2∴a=1.
273??y=x?x=?x=2????12?236,?⑶由?解得?5 131y=?y=x??y=?22?1??6x??∴直线y=227x?与函数y=g(x)的图象所围成图形的面积 3671?7?2S=?3?(x?)?(x?)?dx=?ln3?2ln2
36x24?2?22.解(1) QF(x)=h(x)??(x)=x?2elnx(x?0)，
2?F?(x)=2x?当x=2e2(x?e)(x?e)=． xxe时，F?(x)=0．
?当0?x?e时，F?(x)?0，此时函数F(x)递减；
当x?e时，F?(x)?0，此时函数F(x)递增；
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∴当x=e时，F(x)取极小值，其极小值为0．
(2)解法一：由（1）可知函数h(x)和?(x)的图象在x=e处有公共点，因此若存在h(x)和
?(x)的隔离直线，则该直线过这个公共点．
设隔离直线的斜率为k，则直线方程为y?e=k(x?e)，即y=kx?e?ke． 由h(x)?kx?e?ke(x?R)，可得x2?kx?e?ke?0当x?R时恒成立． Q?=(k?2e)2，
?由??0，得k=2e．
下面证明?(x)?2ex?e当x?0时恒成立． 令G(x)=?(x)?2ex?e=2elnx?2ex?e，则
G?(x)=当x=2e2e(e?x)?2e=， xxe时，G?(x)=0．
?当0?x?e时，G?(x)?0，此时函数G(x)递增；
当x?∴当x=e时，G?(x)?0，此时函数G(x)递减； e时，G(x)取极大值，其极大值为0．
从而G(x)=2elnx?2ex?e?0，即?(x)?2ex?e(x?0)恒成立． ∴函数h(x)和?(x)存在唯一的隔离直线y=2ex?e． 解法二： 由(1)可知当x?0时，h(x)??(x) (当且仅当x=若存在h(x)和?(x)的隔离直线，则存在实常数k和b，使得
e时取等号) ．
h(x)?kx?b(x?R)和?(x)?kx?b(x?0)恒成立，
令x=e，则e?ke?b且e?ke?b
?ke?b=e，即b=e?ke．
后面解题步骤同解法一．
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