①A与C；②B与E；③B与D；④B与C；⑤E与C 错解：选①或③或④或⑤
剖析：识记错误，两类事件的概念不清。 正确答案：②是互斥事件，是对立事件
反思：“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是指事件A与事件B在一次实验中不会同时发生，而对立事件是指事件A与事件B在一次实验中有且只有一个发生，因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。 易错点72 使用概率加法公式没有注意成立条件 【问题】：投掷一枚均匀的骰子，事件A=“朝上一面的点数为奇数”，B=“朝上一面的点数不超过3”，求P(A?B)。
错解： p(A)?1111，P(B)= ，∴P(A?B)?P(A)?P(B)= +=1 2222剖析：概念模糊，未验证公式成立条件。 正确答案：
2 3反思：概率加法公式是指当事件A、B为互斥事件时，则有P(A?B)?P(A)?P(B)，否则只能使用一般的概率加法公式P(A+B)＝P(A)+P(B)- P(A∩B)。解此类题关键是要分清已知事件是由哪些互斥事件组成的，然后代公式P(A+B)＝P(A)+P(B)求解，若已知事件不能分解为几个互斥事件的和，则只能代一般的概率加法公式。
易错点73 运用古典概型概率公式解题时计数出错
【问题】：一个口袋中有大小相同的3个黑球和2个白球，从中不放回地依次摸出2个，求其中含有黑球的概率。
错解：“含有黑球”的对立事件是“全为白球”， ∴P(A)?1?119? 2020剖析：计数出错，计算基本事件总数时考虑“顺序”，而求事件A包含的基本事件数个数时没考虑“顺序”。
正确答案：P(A)?1?19? 1010card(A)m?。为此，计数是解题的关键，求解时①要分清是
card(I)n反思：运用古典概型的概率公式解题时，需确定全部基本事件的个数，及所求事件A包含的基本事件数，然后代公式为p(A)?“分类”还是“分步”，分类时要不重不漏，分步时要注意连续性；②要分清“有序”还是“无序”， 有序用排列，无序用组合；③ 要分清“放回”还是“不放回”。 易错点74 将其它问题转化为几何概型时出错 【问题】：在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在∠ACB的内部任作一条射线CM，交线段AB于M，求“AM?AC”的概率。
错解：∵△ABC等腰直角三角形，∠C为直角， ∴AB=2AC，∴ p?AB?AC2?2?
AB2剖析：知识残缺，虽然射线在∠ACB的内部的分布是等可能的，
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但是点M在线段AB上的分布不是等可能的。 正确答案：
3 4反思：几何概型具有两大特点：一是试验的可能的结果为无限个；二是试验的结果在一个区域内均匀分布。解题的关键是判断试验的结果在哪个区域内是均匀的。 易错点75 使用直方图解题时错把纵坐标当成频率
【问题】：某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ). A.108 B.90 C. 75 D45
错解：产品净重小于100克的概率为0.050+0.100=0.15, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，所以n=240，净重大于 或等于98克并且小于104克的产品的概率为 0.100+0.150+0.125+0.75=0.45,所以样本中净 重大于或等于98克并且小于104克的产品的 个数是240×0.45=108，故选A.
频率/组0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 剖析：不会看图，直方图的纵坐标不是频率, 96 98 100 102 104 克 矩形的面积才是频率。
正确答案：108 反思：统计学的基本思想之一是用样本的频率分布估计总体的概率分布，其中最常用来表示频率分布图形是直方图。解与直方图有关的识图题时，一定要看清图中横坐标和纵坐标分别表示什么，单位是什么，唯有这样才能正确求解。 易错点76 对样本数字特征认识不到位 【问题】：下列判断正确的是（ ）
A 样本平均数一定小于总体平均数 B 样本平均数一定大于总体平均数
C 样本平均数一定等于总体平均数 D 样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 错解： 选A或B或C
剖析：概念不清，样本平均数仅仅用来估计总体平均数，没有必然的大小关系。 正确答案：D
反思：统计学的另一基本思想是通过科学合理地获取样本，再通过对样本数据的处理，用样本数字特征去估计总体的相应数字特征。对此我们要有一个辩证的理解，即有时会出现偏差，而解决这一问题的方法是适度增加样本容量，当样本容量越大，它对总体接近程度越大，可信度越高。 易错点77 在求离散型随机变量分布列时忽视所有事件概率和为1 【问题】：某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有四次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第四次为止。
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如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9。求在一年内李明参加驾照考试的次数X的分布列。 错解：随机变量X可取1，2，3，4
p(X?1)?0.6，p(X?2)?0.4?0.7?0.28，p(X?3)?0.4?0.3?0.8?0.096， p(X?4)?0.4?0.3?0.2?0.9?0.0216
∴李明参加驾照考试的次数X的分布列为
X p 1 0.6 2 0.28 3 0.096 4 0.0216 剖析：知识残缺，对事件“X=4” 不理解，“X=4”表示李明前3次均没通过，而第四次可能通过也有可能不通过，∴p(X?4)?0.4?0.3?0.2?(0.9?0.1)?0.024或利用性质求解
p(X?4)?1-p(X?1)-p(X?2)-p(X?3)?0.024。
正确答案： X p 1 0.6 2 0.28 3 0.096 4 0.024 反思：解答此类题常见的错误为①事件的概率不会求；②所求的事件概率不满足
p1?p2?p3?L?pn?1。对于②我们通常先求出一些简单事件的概率，如果某事件的概率不
好求，在确保其它事件的概率正确的前提下，可用性质p1?p2?p3?L?pn?1求解。
十、其它
易错点78 对循环结构中控制条件理解存在偏差
【问题】1：设计一个程序框图求s?1?2?3?L?30的值。 错解：
剖析：概念不清，用图不准，第一处错误在于第二个框应是S=1而不是S=0；第二处错误在于判断框应是i?30而不是i?30。
【问题】2：说出下面算法的程序功能，并改写为UNTIL语句。
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s=1 n=2 i=1
WHILE i＜=63 s=s+n∧i i=i+1 WEND PRINT s END
错解：该程序功能为计算1?2?2s=1 n=2 i=1 DO
s=s+n∧i i=i+1
LOOP UNTIL i >=63 PRINT s END
剖析：概念模糊，对两种循环的特点分辨不清，关系理解不透。事实上UNTIL语句后i >=63应改为i >63。
反思：循环结构中一般有两个变量——累加（乘）变量和计数变量，累加（乘）变量是为了实现算法功能，计数变量是用来记录循环次数。解此类题关键是把握好两种循环结构特点及其它们的区别，设定好两种变量的初始值，根据循环次数确定好控制变量所满足的条件，必要时通过记录循环过程加以检验。
易错点79 忽视数学归纳法中的归纳假设 【问题】：用数学归纳法证明：n2?n?n?1 错解：⑴当n=1时，命题显然成立；
⑵假设n?k时命题成立，即k2?k?k?1， 那么当n?k?1时，(k?1)?k?1? ∴n?k?1时命题也成立
由⑴、⑵可知，对于n?N?命题成立。
剖析：知识残缺，在推证n?k?1时命题也成立时，没有用到归纳假设。 反思：数学归纳法仅适用于证明与自然数n有关的命题命题，其步骤如下： ⑴当n?n0（n0∈N+）时，验证命题成立；
⑵假设n=k（k≥n0 ，k∈N+）时命题成立，推证n?k?1时命题也成立； 由⑴、⑵，当n?n0时命题成立。
22?23?L?263，对应UNTIL语句为：
k2?3k?2?k2?4k?4?k?2
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在上述过程中，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，二者缺一不可。对此，考生常犯的错误是①忽视验证n?n0是命题真假情况；②在证明n?k?1命题成立时，没有用到归纳假设。
易错点80 忽视参数范围
?x?t?x?cos?【问题】曲线?的交点是： (t为参数且t?0)与曲线?(?为参数）?y?t?1错解：（1，2）或
（-112，2） 正解：（1，2）。要注意t>0这个限制。
?y?cos2??140
高中数学易错点难点 考点 80个
