剖析：第1由题意可知3OA、4OB、5OC三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一向量移项平方即可。
第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。
解析：①∵|OA|=|OB|=|OC|=1由3OA＋4OB＋5OC=0 得：3OA＋4OB=－5OC两边平方得：9OA＋24OA·OB
→→→
→→→→→→→→→→→2→→
→2→2→→→→→→→4→→→→→＋16OB=25OC∴OA·OB=0同理：由4OB＋5OC=－3OA求得OB·OC=－ 由3OA＋5OC=－4OB求得OA·OC
5
3=－ 5
1→→1→→443→→
②由OA·OB=0,故s?0AB= |OA||OB|= 由OB·OC=－ 得cos∠BOC=－ ∴sin∠BOC=－ ∴
22555
1→→33341→→→s?0BC= |OB||OC|sin∠BOC= ，由OC·OA=－ 得cos∠COA=－ ∴sin∠COA= ∴s?0AC= |OC
2105552
21326→
||OA|sin∠COA= 即sABC=s?0AB＋s?0AC＋s?0BC= ＋ ＋ =
521055
【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。 【练40】（1）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c，已知a,b,c成等比数列，且cosB＝
uuuruuur3cotA+cotC的值；（2）设BA?BC?，求a?c的值。
24答案：（1）7（3）a?c?3。
7??????3?（2）已知向量a=（2，2），向量b与向量a的夹角为，且a·b=－2，①求向量b；
4?34。（1）求
C)，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C2??rr2rr5b?(?1,0)b?(0,?1)依次成等差数列，试求|b+c|的取值范围.答案：①或②?|b?c|?.
22②若
t?(1,0)且b?t,c?(cosA,2cos2???
易错点43解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。
x2y2??1上动点P到定点M?m,0?,其中0?m?2的距离PM例、已知椭圆C：42uuuruuuruuurOA?OB?AB的最小值为1.（1）
请确定M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线l,使l与椭圆C的两个交点A、B满足条件
（O为原点）,若存在,求出l的方程,若不存在请说是理由。
uuuruuuruuur剖析：此题解题关键是由条件OA?OB?AB定理解答。
uuuruuur知OA?OB?0从而将条件转化点的坐标运算再结合韦达
?x2?x2y22??1得y?2?1??故解析：设p?x,y?，由424??PM2??x?m?2?x2??x2?12?2?1???2?1????x?2m??2?m2由于0?m?2且
4??4?2? 21
?2?x?2故当0?2m?2时，PM取得最小值为2?4m?m标为（1，0）。
22的最小值为2?m2?1此时m?1，当2?2m?4时，x?2?2?1解得m?1,3不合题意舍去。综上所知当m?1是满足题意此时M的坐
uuuruuur等价于OA?OB?0，当l的斜率不存在时，l与C的交点为
uuuruuuruuur（2）由题意知条件OA?OB?ABuuuruuur?6???1,?2??，此时OA?OB?0，设l的方程为y?k?x?1?，代入椭圆方程整理得??uuuruuur2222?1?2k?x?4kx?2k?4?0，由于点M在椭圆内部故??0恒成立，由OA?OB?0知
4k2x1x2?y1y2?0即?1?k?x1x2?k?1?x2??k?0，据韦达定理得x1?x2?1?2k2222，
2k2?42222222x1x2?代入上式得?1?k??2k?4??k?4k?k?1?2k??0得k??4不合题意。21?2k综上知这样的直线不存在。
反思：在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应
用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。
【练】已知椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，以右焦点F2为圆心，过另一焦点F1的圆被右准线截的两段弧长之比2:1,P?uuuruuuur2,1为此平面上一定点，且PF1?PF2?1.（1）求椭圆的方程（2）若直线
?y?kx?1?k?0?与椭圆交于如图两点A、B，令
x2y2??1（2）?0,8? 案：（1）42
uuuruuuurf?k??AB?F1F2?k?0?。求函数f?k?的值域答
易错点44 忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别
r2r【问题】：已知向量a?(x,x?)与b?(2x,?3)的夹角为钝角，求实数x的取值范围为 3错解：?1?x?2 2rrrrb?0 剖析：概念模糊，错误地认为a,b为钝角?ag 22
正确答案：?1?x?2且x?0 2rrrrrr?x1x2?y1y2?0b?0且a与b不共线??反思：a,b为钝角?ag
xy?xy?0?1221六、不等式
易错点45不等式性质应用不当 【问题】：已知0????，???<β<，求函???的取值范围。 42错解： ∵0????，???????<β<，∴0?(?)???????，∴????(,) 424242剖析：套用错误，不等式具有同向相加性质，但两边不能分别相减。 正确答案：(??5?24,)
反思：不等式基本性质是不等式的基础，有些性质是条件不等式，在使用这些性质解题时，务必
要检验成立条件，不能想当然套用，忽视了就会出错。 易错点36 忽视等号同时成立的条件，扩大了范围
【问题】：已知函数f(x)?ax?bx，且1?f(?1)?2,2?f(1)?4，求f(?2)的取值范围。 错解：先由1?f(?1)?2,2?f(1)?4求出a，b的范围，再用不等式性质求出f(?2)的范围为[5，10]。
剖析：知识残缺，多次使用同向相加性质，从而扩大了取值范围。 正确答案：利用待定系数法或线性规划求解，f(?2)的范围为[5，10]。
反思：在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式。
易错点46 去分母时没有判断分母的符号
2x2?x?6＞0 【问题】：解不等式
x?1x2?x?6＞0，∴x2?x?6?0，解得?xx＜?2,或x＞3? 错解：∵
x?1剖析：基础不实，没有考虑分母x?1的符号，直接去分母，应对x?1进行分类讨论，或用数轴
标根法求解。
正确答案：(?2,1)U(3,??)
23
反思：解分式不等式的依据是分式的基本性质a>b,c>0?a c >b c；a >b,c<0?a c
错解一：原不等式等价于?(a?2)?2x?1?a?2，解得?a3a1??x?? 2222剖析：基础不实，直接利用绝对值不等式的解集公式，而忽视对a-2进行分类讨论。
错解二：当a?2?0时，原不等式不成立。
当a?2?0时，原不等式等价于?(a?2)?2x?1?a?2，解得?a3a1??x?? 2222剖析：技能不熟，没有对a?2?0进行讨论。
正确答案：当a?2?0时，不等式解集是?；当a?2?0时，不等式解集是
a?1??3?a?x??x? 22??反思：含参数不等式的解法是不等式问题的难点。解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论，
讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合。 易错点48 忽视均值不等式应用条件 【问题】1：若x<0，求函数f(x) =x?2的最值。 x错解:当x＝2时，f(x)取得最小值22 剖析：基础不实，基本不等式a?b≥2用公式。
正确答案：最大值为?22，无最小值。 【问题】：设0?x??，求函数f(x)?sinx?ab成立条件为a?0,b?0，本题中x<0，不能直接使
4的最小值。 sinx错解：f(x)?sinx?44?2sinxg?4 sinxsinx剖析：知识残缺，因为上述解法取等号条件是sinx?正确答案：最小值为5
4，sinx??2，而这是不可能的。 sinx 24
【问题】3：设a?0,b?0，且a?b?1，求函数f(x) =
23?的最小值。 ab错解：∵
23236?=(a?b) (?)≥2abg2＝46，∴函数f(x)的最小值为46。 ababab剖析：技能不熟，上述解法似乎很巧妙，但两次使用均值不等式时取等号的条件不一样，因此取不到46。
正确答案：最小值为5?26 反思：均值不等式a?b≥2
ab（a?0,b?0）取等号的条件是“一正，二定，三相等”。
在解题过程中，务必要先检验取等号的三个条件是否成立。常规的解法是①如果积或和不是定值，设法构造“定值”；② 若是a?0,b?0不能保证，可构造“正数”或利用导数求解；③若是等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用单调性求解。
易错点49 平面区域不明 【问题】：?x?2y?1??x?y?3??0表示的平面区域是（ ）
错解一：选A 计算错误 错解二：选B 思维不缜密
错解三：选D 审题粗心，未注意到不含等号。 正确答案：C
反思：一条直线l:Ax?By?C?0(A,B不全为零）把平面分成两个半平面，在每个半平面内的点（x，y）使Ax?By?C值的符号一致。鉴于此，作不等式对应的平面区域方法是画线定界，取点定域，若含等号画实线，否则画虚线。
易错点49 求目标函数最值时忽视y的系数B的符号
?y?1,?【问题】：若变量x,y满足约束条件?x?y?0,求目标函数z?x?2y的最大值。
?x?y?2?0,?错解：先作可行域，在平移直线l:x?2y?t得最优解（-1，1）,所以zmax??3
剖析：识记错误，当y的系数小于0时，使得直线l在y轴上截距最大的可行解，是目标函数取得最小值的最优解。 正确答案：3
反思：解线性规划问题的基本方法是图解法。当B>0时，动直线l:Ax?By?t在y轴上的截距
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高中数学易错点难点 考点 80个
