8.2.3 倍角公式
学 习 目 标 1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系．(重1.通过倍角公式的推导，培养学生的逻点) 辑推理核心素养． 核 心 素 养 2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，2.借助倍角公式的应用，提升学生的数并能运用这些公式进行简单的恒等变学运算及逻辑推理核心素养. 换．(重点、难点)
二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α .
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α . T2α：tan 2α＝
2tan α .
1－tan2α思考：你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？
[提示] 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况αα
都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，2是4的二倍角等．
1.sin 15°sin 75°的值为( )
1133A．2 B．4 C．2 D．4 11
B [原式＝sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝4.] 2.计算1－2sin222.5°的结果为( ) 1
A．2 C．
3 3
2B．2 D．
3 2
2
B [1－2sin222.5°＝cos 45°＝2.] 1
3.已知cos α＝3，则cos 2α等于________．
717?1?2
－9 [由cos α＝3，得cos 2α＝2cos2α－1＝2×?3?－1＝－9.]
??
利用二倍角公式化简求值 【例1】 化简求值． ααπππ
(1)cos4 2－sin4 2；(2)sin 24·cos 24·cos 12；
2
1－3tan 150°
(3)1－2sin2 750°；(4)tan 150°＋2tan 150°.
[思路探究] 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得． αα[解](1)cos4 2－sin4 2 ?2α2α??2α2α?cos －sin cos ＋sin 2? ???＝22??2??＝cos α.
ππ?1?π(2)原式＝2?2sin 24cos 24?cos12 ??
ππ?1ππ1?
＝2sin 12cos 12＝4?2sin 12cos 12?
??1π1
＝4sin 6＝8， 1
∴原式＝8.
(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° 1＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝2， 1∴原式＝2.
2tan2150°＋1－3tan2 150°
(4)原式＝
2tan 150°1－tan2 150°1＝2tan 150°＝ tan?2×150°?1
＝tan 300°＝1
tan?360°－60°?
13
＝－tan 60°＝－3， 3∴原式＝－3.
二倍角公式的灵活运用：
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：
1
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝2sin 2α，
sin 2α2tan α
cos α＝2sin α，cos2 α－sin2 α＝cos 2α，＝tan 2α.
1－tan2 α
(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：
1±sin 2α＝sin2 α＋cos2 α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2 α，1＋cos 2α1－cos 2α2cos α＝，sin α＝. 22
2
1.求下列各式的值： ππ
(1)sin 8cos 8；
2019-2020学年新教材人教B版第三册学案：第8章 8.2 8.2.3 倍角公式
