第六章 平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
素养目标·定方向
课程标准 1.理解向量的概念，掌握向量的表示方法、记法． 2．了解零向量及单位向量． 3．掌握向量的相等与平行.
必备知识·探新知
知识点
向量的定义与表示
(1)定义：既有__大小__又有__方向__的量． (2)表示方法：
→
①几何表示法：用以A为始点，以B为终点作__有向线段__AB．
②字母表示法：在印刷时，通常用__加粗__的__斜体小写__字母如a，b，c、…表示向量，
→
→
→
学法解读 通过对向量及有关概念的学习，培养学生的数学抽象、直观想象及逻辑推理素养. 在书写时，可写成__带箭头__的小写字母如a，b，c，…．
→→
(3)向量的模：向量的大小也称为向量的长度或模，如a，AB的模分别记作|a|，|AB|． 思考：(1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？
(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？
提示：(1)向量不仅有大小，而且有方向．大小是代数特征，方向是几何特征．看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可．
(2)要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点．
知识点
特殊向量
(1)零向量：__始点__和__终点__相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：长度(或模)为__1__的向量称为单位向量．
(3)相等向量：大小__相等__且方向__相同__的向量称为相等向量．向量a与b相等，记
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作a＝B． (4)平行向量或共线向量：方向__相同__或__相反__的非零向量称为平行向量，也称为共线向量．向量a平行于b，记作a∥B．规定__零__向量平行于任何向量．
思考：(1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ (2)若a＝b，则两向量在大小与方向上有何关系？ (3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？
提示：(1)0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.0有方向，其方向是任意的．
(2)若a＝b，意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同．
(3)向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括基线重合的情况，故也称向量共线．
关键能力·攻重难
题型探究
题型
向量的有关概念
┃┃典例剖析__■
典例1 给出下列命题：
(1)平行向量的方向一定相同； (2)向量的模一定是正数；
(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
→→
(4)若向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确的序号是__(3)__．
[分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．
[解析] (1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，→→
只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD必须在同一直线上．故填(3)．
规律方法：要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．
┃┃对点训练__■ 1．给出下列命题：
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(1)若|a|＝|b|，则a＝b；
(2)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (3)若a＝b，b＝c，则a＝c；
→→→→
(4)若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝CD，BC＝DA． 其中正确命题的序号是__(2)(3)__．
[解析] (1)该命题不正确，|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； (2)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；
(3)该命题正确，由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；
→→→→
(4)该命题不正确，如图所示，显然有AB≠CD，BC≠DA．
题型
相等向量与共线向量
┃┃典例剖析__■
典例2 如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形．
→
(1)找出与向量AB相等的向量； →
(2)找出与向量AB共线的向量．
→→
[分析] (1)找与向量AB相等的向量，就是找与AB长度相等且方向相同的向量． →→
(2)找与AB共线的向量，就是找与AB方向相同或相反的向量．
→→→
[解析] (1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知，DC，ED与AB的长度相→→→
等且方向相同，所以与向量AB相等的向量为DC，ED．
→→→→→→→→→→
(2)由题图可知DC，ED，EC与AB方向相同，BA，CD，DE，CE与AB方向相反，所以与向量AB→→→→→→→
共线的向量有DC，ED，EC，BA，CD，DE，CE．
规律方法：1.寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向且共线的．
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2．寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量．
3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反．
┃┃对点训练__■
2．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形． 在图中所示的向量中：
→→
(1)分别写出与AO、BO相等的向量； →
(2)写出与AO共线的向量； →
(3)写出与AO的模相等的向量； →→
(4)向量AO与CO是否相等？ →→→→
[解析] (1)AO＝BF，BO＝AE． →→→→(2)与AO共线的向量为：BF，CO，DE．
→→→→→→→→
(3)∵|AO|＝|CO|＝|DO|＝|BO|＝|BF|＝|CF|＝|AE|＝|DE|． →→→→→→→→∴与AO模相等的向量为：CO，DO，BO，BF，CF，AE，DE． (4)不相等． 题型
向量的表示与应用
┃┃典例剖析__■
典例3 (1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中
→→
有定点A，点C为小正方形的顶点，且|AC|＝5，画出所有的向量AC；
→→→→
(2)如图所示，在四边形ABCD中，AB＝DC，N，M分别是AD，BC上的点，且CN＝MA.求证：
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→→DN＝MB．
[分析] (1)根据方向与大小确定终点即可．
→→
(2)利用向量相等证明四边形ABCD，CNAM为平行四边形，进而得到DN＝MB． →
[解析] (1)画出所有的向量AC，如图：
→→
(2)因为AB＝DC，
→→
所以|AB|＝|DC|，且AB∥CD， 所以四边形ABCD是平行四边形． →→
所以|DA|＝|CB|，且DA∥CB． →→
又因为DA与CB的方向相同， →→所以CB＝DA．
→→
同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以CM＝NA． →→→→
因为|CB|＝|DA|，|CM|＝|NA|， →→
所以|MB|＝|DN|，DN∥MB，
→→→→即DN与MB的模相等且方向相同，所以DN＝MB．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 在□ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，
O}，向量集合T＝{MN|M，N∈S}，且M，N不重合，则集合T中元素的个数为__12__．
→→→→→
[错解] S＝{A，B，C，D，O}，S中任意两点连成的有向线段有：AB，AC，AD，AO；BA，→→→→→→→→→→→→→→→
BC，BD，BO；CA，CB，CD，CO；DA，DB，DC，DO；OA，OB，OC，OD，共有20个元素．
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→
2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.1向量的概念学案含解析新人教B版必修第二册
