《万有引力定律的成就》讲与练
陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室 邢彦君
一、内容
1．计算天体的质量
（1）利用围绕某天体圆周运动的天体的轨道半径r、运动周期T，由关系式
可计算出该天体的质量。
（2）利用测得的某天体表面的重力加速度g、天体的半径R， 由关系式计算出该天体的质量。
2．计算天体运动的加速度、速度、及周期
可
（1）已知中心天体的质量M，环绕运动天体的轨道半径r，由关系式、
、
度、角速度及周期。
、可计算出运动天体的加速度、线速
（2）已知中心天体表面的重力加速度g，半径R，运动天体的轨道半径r，由上述基本关系式及“黄金代换”关系，也可计算运动天体的加速度、线速度、角速度及周期。
3．发现“未知”天体：如果某天体环绕运动过程中，在某区域，轨道偏离原轨道，说明此区域存在尚未观测到的天体，依据轨道的偏离情况，运用万有引力定律及其它力学规律，可测算出“未知”天体的位置、质量等。
二、重难点
1．分析求解天体运动问题时，将运动天体与中心天体视为质点，天体的环绕运动是匀速圆周运动，中心天体对运动天体的万有引力充当向心力，不考虑中心天体以外的其它天体的万有引力。
2．对于人造天体的圆周运动，它运动的加速度、线速度、角速度、周期，受轨道半径的制约，轨道半径变化，这些量随之改变。
三、易混点
1．中心天体与环绕运动天体：利用基本关系式，只能计算出处在轨道中心的中心天体的质量，无法计算出环绕运动天体的质量。
2．公转周期与自转周期：利用基本关系时，式中的周期是环绕运
动的天体绕中心天体公转的周期，不是环绕运动的天体自转的周期。
3．圆周运动与双星运动：两颗相距较近的天体，其中的一天体不环绕另一天体运动，两者共同环绕其内侧连线上某一点做圆周运动，运动中两天体的轨道是同心圆。若两天体的质量悬殊，则它们运动的公共圆心离质量较大的天体很近，此时的双星运动可视为小质量天体环绕大质量天体的圆周运动。
4．“黑洞”与天体：“黑洞”是指质量或密度非常大的天体，其它天体可以环绕其运动，它也可以环绕其它天体运动，它也可与其它天体形成双星。
四、题型与方法
1．对于环绕运动，分析求解的基本思路与方法，就是万有引力定律、牛顿第二定律、
匀速圆周运动规律的综合运用。可视问题情境灵活选用、、
、中的某一个，还可灵活运用“黄金带换”关系。
2．对于有自转的天体，其上各部分物体随天体的自转做圆周运动，不同纬度处的同质量物体，圆周运动的轨道半径不同，赤道上的物体自转的轨道半径最大，所需向心力最大。当赤道上物体恰要被甩出时，它与天体表面的作用力为零，只是万有引力充当向心
力。由可求出天体自转的最大角速度。若已知天体自转的最大角速度，利
用此式和
可求出天体的最小平均密度。
3．双星运动中的相等量：双星运动中，两天体的向心力相等，角速度相等，周期相等。
例1．开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次
方与它的公转周期T的二次方成正比，即，k是一个对所有行星都相同的常量。将
行星绕太阳的运动按圆周运动处理，已知引力常量为G，太阳的质量为M太。
（1）请你推导出太阳系中该常量k的表达式。
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84×10m，月球绕地球运动的周期为2.36×10s，试计算地球的质M地。（G=6.67×10Nm/kg，结果保留一位有效数字）
解析：（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。由
-11
2
2
8
6
万有引力定律和牛顿第二定律有：。解得：。对
比开普勒第三定律得：
。
（2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，对月球绕地球的
运动，由上述结论有：
，代入数据解得：M地=6×10kg 。
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例2．如图1所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在彼此引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为
L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
（1）求两星球做圆周运动的周期；
（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和
B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×2422
10kg 和 7.35 ×10kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
解析：（1）A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，则 A和B有相同的角速度或周期。因此有：
，。解得：，。对A由牛顿第二
定律和万有引力定律有：
。化简得：。
（2）将地月看成双星，则。将月球看作绕地心做圆周运动，由
牛顿第二定律和万有引力定律有：。解得：。所以两种
周期的平方比值为：
。
例2．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测
到它的自转周期为。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因
自转而瓦解？（计算时星体可视为均匀球体。）
解析：设中子星的质量为M，赤道半径是R，对于中子星赤道上质量为m的部分物质，
有关系式：，而
。因此，该中子星的最小密度是
，令N=0代入数据解得：
时才能维持
该星体的稳定，不致因自转而瓦解。
五、强化训练
1．一物体静置在平均密度为
的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若
由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
A．
B． C． D．
2．火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆轨道运行的周期为的圆形轨道运行周期为，则
与
之比为
，火星质量与地球质量之比为
，神舟飞船在地球表面附近
，火星半径与地球半径之比为
《万有引力定律的成就》讲与练分析
