第五章 二次型自测题
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学号
一、填空题
22
x1 x1 x2
1. 实二次型 (x1,x2)
4 1
1 2
的矩阵为
，秩为
，正惯性指数 为 ，规范形为 .
2. 与对称矩阵合同的矩阵只能是 矩阵 . 3. 复二次型 f （x1,x2, ,xn） 的规范形由
2 2 2
所唯一确定 .
dnxn 正定 di
2
4. 实二次型 f （x1,x2, ,xn） d1x1 d2x2
2
2， i=1,2,?,n.
n2
5. 二 次 型 f( x1 , x2 , ,nx ) (2x1 x2
21x x3 2n1x x ) ( 22x 3x
2x x )
n
2x的n1 矩x
1 2
6. 写出实对称矩阵
0 5 2
所确定的二次型 f
（x1,x2,x3）
7. 两个复二次型等价充分必要条件是 8. 两个实二次型等价充分必要条件是
0
、判断题
1. 设 A、B 为 n阶方阵，若存在 n 阶方阵 C，使 CAC B，则 A与B合同.（ 2. 若 A 为正定矩阵，则 A的主对角线上的元素皆大于零 . （ ） 3. 若 A 为负定矩阵，则必有 A 0. （ ）
4. 实对称矩阵 A 半正定当且仅当 A 的所有顺序主子式全大于或等于零 . （ ） 5. 若 A负定，则 A 的所有顺序主子式全小于零 . （ ）
6. 非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型 . （ ） nn 7. 若实 二次 型 f（x1,x2, ,xn） aijxixj 的 符 号差 为 s ，令 bij a ij， 则二 次 型
i 1 j 1
nn
）
g(x1,x2, ,xn)
i 1 j 1
bij xix j 的符号差为－ s. ( )
三、选择题
1. 已知 二 次 型 f（x1,x2,x3） 2x1 x2 4x1x2 4x2x3 ， 试对它 作如 下 非 退化 线性 替 换
2
2
1
1 2 0 1 y2
结果为（
0
1 y3
1 2 2 2
A. f (x1, x2 ,x3)
2 y1 y2 y
3 B. f(x1,x2,x3) y1 4y2y
222 2 3
1C. f(x1,x2,x3) yy
2
1 2y
2 2 2
22 2 32
D. f (x1,x2,x3) y1 y2 2 92
y
2
3
4
2. 下列矩阵合同于单位矩阵的是（ ）
111 101 121 2
1
A. 111
B. 010
C. 271
D. 1 3
3
2
111
101
118
2
3 2
3. 下面的说法正确的是（ ）
A. 设 A,B 为n 级对称矩阵，若存在 n级矩阵 C，使 CAC B，则 A与 B合同；B. 两个对称矩阵一定合同；
1 0
1 0 C. 矩阵 与矩阵
在复数域上不合同；
1
0 1
0
01 0 1
在实数域上不合同
1
D. 矩阵 1 0
与矩阵 1
0 1 0
4. 下面的说法不．正．确．的是（ ）.
A. 若 A为反对称矩阵，则 A2
是反对称矩阵；
B. 若 A为可逆对称矩阵，则 A与 A1
合同；
C. 若 A为实 n级可逆矩阵， A与 A合同，则 n必为偶数；
A 0
B 0 D. 令 A
1
， B 1
，如果 A1与B1合同， A2与 B2合同，则 A与B合同.
0 A2
0 B2
1 1 2 2
5. 与二次型 f （x1,x2,x3） x12
2x1x2 2x2x3相对应的实对称矩阵是（
）.
11 0
1 1 0 11
1
1 0 A. 10 2
B. 1 0 1 C.
1 0 0
D.
0 0
02 0 0
1 0
1
0 0
1
1 6. 二次型 f(x, y) x2 4xy 3y2
的矩阵 A ( )
2
0
11
A.
12 23
B.
1 2
2
3
C.
12 23
1
D.
12
23
7. 二次型 f(x1,x2,x3) XAX ，A
3
0 ，则这个二次型应是（ 1
）.
A. C.
x1 x1x2 3x1x2 x3
22
B.
22 3
22
x 2xx 6xx x 112133
2x1 2x1x2 6x1x3 2x
D.
2 2 2
2
2
x1 2x1x2 6x1x2 2x3
2
22
8. 复数域中二次型 f （x1,x2,x3） x1 2x2 2x3 2x1x2 4x1x3 2x2x3 的规范形为( A. C.
f (x1,x2,x3)
z
2 2
1 2
).
zz
2
3
B. f (x1,x2,x3) z
2 1
2
z
2 2
z
2 3
f (x1,x2,x3) zz
22 1 2
D. f (x1,x2,x3) z1
2
2
9. 二次型 f(x1,x2,x3) 5x1 5x2 cx3 2x1x2 6x1x3 6x2x3的秩为
2
2，则 c （ ）.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10. 设 A,B均为 n级矩阵，且 A与 B合同，则( ).
A. A,B 相似 B. A B C. r(A) r(B) D. A, B有相同的特征值 11. 实二次型 f(x1,x2,x3) x1 2x2 2x1x2
2
2
2x2x3 的规范形为( ).
z
z3
2
A. f (x1,x2,x3) z
2 2 2 2 2 2 1 2
2
2
B. f (x1,x2,x3) D. f (x1,x2,x3)
z1
2
z2
2
z3
C. f (x1,x2,x3) z1 z2 z3 z1 z2
12. 下列二次型正惯性指数等于 2 的是( A. f (x1,x2,x3) (x1 x2 x3) 2x2
B. f (x1,x2,x3) x1 x2 5x
2 2 2 3 12
22
).
6xx2x1x3 2x2x3
C. f (x1,x2,x3) xxxxx
D. f (x1,x2,x3) x
222
1 2 3 12
222
1 2 3 12
xx2xx2x1x3 2x2x3
2
2
2
13. 实二次型 f(x1,x2,x3) 5x1 6x2 4x3 4x1x2 4x1x3 的秩与符号差为(
)
A. 3, 1
B. 3,1
1 1
0 1
0
C. 2, 1 D. 2,1
对称矩阵 A 14.
1 2
0
的秩和负惯性指数等
于（
1
A. 3, 1 B. 3,1 C. 2, 1 D. 2,1
15. n 级复数对称矩阵按合同分类，即两个 n实级对称矩阵属于同一类当且仅当他们合同，
共有几类？（ ）
3
第五章二次型自测题及答案
