www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台2000年北京市第15届“迎春杯”数学竞赛试题及详解一、填空题1．计算：1993?1994?1995?1996?1997?1998?1999?2000?【答案】?15972
【解析】原式?1993?1993?1995?1995?1997?1997?1999?1999
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2
2
2
。?(19932?19972?19952?19992)?(1993?1995?1997?1999)?(19932?19992)?(19972?19952)?4
?(1993?1999)(1993?1999)?(1997?1995)(1997?1995)?4??6?3992?2?3992?4?(?6?2)?3992?4??4?3992?4
??4?3993??4?(4000?7)??16000?28??15972。2．已知N是正整数，且10?N?10，N?10x?1，那么满足条件的整数x一共有个。【答案】9【解析】由题意：10?10x?1?10。则10x?10?1，x是整数，故x?1；4
4
4
4
5
454
104x?105?1，故x?10。所以，x?1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9个。1/10www.100xuexi.com圣才电子书3．如果关于x的方程是。【答案】k?
1x?3k?5(x?k)?1的解是非负数，那么，k的取值范围3十万种考研考证电子书、题库视频学习平台1
2
【解析】由原方程，得：x?9k?15x?15k?3，移项整理得：14x?6k?3，解得：x?
6k?3
。14要求x非负，即6k?3?0，得到k?
1。24．已知?A的两条边和?B的两条边分别平行，且?A比?B的3倍少20?，那么，?B?
。【答案】10?或50?
【解析】已知?A，?B的两条边相互平行，所以?A??B?180?或?A??B。当?A??B时，由?A?3?B?20?，得?B?10?；当?A??B?180?时，由?A?3?B?20?，得3?B?20???B?180?，得到?B?50?。故?B?10?或?B?50?。5．已知(9a?8)?8a?9b?0，那么，代数式a?ab?b的值为【答案】222
。467265612
【解析】由于(9a?8)?0，8a?9b?0，故等式要成立，只有两者皆为0。解?
?9a?8?0864
，得a?，b??。8a?9b?0981?
2
2
故a?ab?b?(?
86428644672
)??(?)?。9879876561
【评注】考查完全平方式与绝对值的非负性。2/10www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台6．已知A，B，C三个学科小组各有人数若干．现对其人员进行调整：第一次，C组不动，从剩下两组的一组中调7人到另一组；第二次，B组不动，从剩下两组的一组中调7人到另一组；第三次，A组不动，从剩下两组的一组中调7人到另一组．最后A组有5人，B组有13人，C组有6人．那么，原来人数最多的组是【答案】B；13【解析】列表逆向求解：组，其有人。A最后第三次前第二次前原始55125B136613C61366所以原来人数最多的是B组，共13人。【评注】本题运用的是还原法。7．如图：一个正方形由四个相同的小长方形组成，如果每个小长方形的周长为25，那么，正方形的面积为。【答案】100【解析】设小长方形的宽为x，长为y，则?y?4x5
?10x?25，即x?，y?10。?
2?2(x?y)?25
故S正方形?10?10?100。3/10www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台b
，b8．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a?b，a的形式，也可表示为0，的形式，那么，a?且b?
。【答案】?1；1【解析】1，a?b，a与0，b
a
，b对应相等。由于a?0，否则b
a无意义。所以a?b?0，即a??b。两组数为：1，0，a与0，?1，b。所以a??1，b?1。9．如果x，y互为相反数，且(x?2)2?(y?2)2
?4，那么，x?。【答案】12【解析】由题意x??y
，则(?y?2)2?(y?2)2?4
(y2?4y?4)?(y2?4y?4)?4，整理得：?8y?4，即y??12。故x??y?
12。【评注】考查相反数的定义。10．在右图中，小于平角的角共有个。4/10a即，www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台【答案】24【解析】分类计数:(1)以点A顶点的小于平角的角有6个。(2)以B，E为顶点的各有2个。(3)以C，D为顶点的各有4个。(4)以F，K为顶点的各有1个。(5)以G，H为顶点的各有2个。共有6?2?2?2?4?2?1?2?2?24个小于平角的角。【评注】分类计算，做到不重不漏。二、填空题11．如果关于x，y的方程组?【答案】a??1【解析】要使?
?ax?3y?9
无解，那么a的值为2x?y?1?
。?ax?3y?9??(1)
无解。?2x?y?1??(2)
(1)?3?(2)，得(a?6)x?12??(3)
要原方程组无解，则(3)必须无解(用反证法可验证)。则说明：a?6?0，即a??6。5/10
2000年北京市第15届“迎春杯”数学竞赛试题及详解【圣才出品】
