1．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时， 2x＋4，x≤－1，??
f(x)＝?2，－1＜x≤2，
??－2x＋6，x＞2.
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 2．(2018·开封模拟)已知函数f(x)＝|x－m|，m<0. (1)当m＝－1时，求解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x； (2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围． 解：(1)设F(x)＝|x－1|＋|x＋1| －2x，x<－1，??
＝?2，－1≤x<1，G（x）＝2－x， ??2x，x≥1.由F(x)≥G(x)解得{x|x≤－2或x≥0}． (2)f(x)＋f(2x)＝|x－m|＋|2x－m|，m<0.
设g(x)＝f(x)＋f(2x)，当x≤m时，g(x)＝m－x＋m－2x＝2m－3x，则g(x)≥－m； mm
当m 22mm 当x≥时，g(x)＝x－m＋2x－m＝3x－2m，则g(x)≥－. 22m －，＋∞?， 则g(x)的值域为??2? m 不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，即1>－，解得m>－2， 2由于m<0，则m的取值范围是(－2，0)． 3．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f(x)＝|ax－1|－(a－2)x. (1)当a＝3时，求不等式f(x)>0的解集； (2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝3时，不等式可化为|3x－1|－x>0，即|3x－1|>x， 11所以3x－1<－x或3x－1>x，即x<或x>， 42 11?? 所以不等式f(x)>0的解集为?x|x<4或x>2?. ? ? ?2x－1，x≥a，(2)当a>0时，f(x)＝? 1 ?2（1－a）x＋1，x ??2（1－a）≤0， 当a＝0时，f(x)＝2x＋1，函数f(x)的图象与x轴有交点，不合题意； 1 ?2x－1，x≤a，当a<0时，f(x)＝? 1 ?2（1－a）x＋1，x>a，要使函数f(x)的图象与x轴无交点， 2??a－1<0，只需?此时无解． ??2（1－a）≤0， 综上可知，若函数f(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为[1，2)． 4．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)画出y＝f(x)的图象； (2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值． 1 －3x，x＜－，?2 ? 1解：(1)f(x)＝? x＋2，－≤x＜1， 2 ??3x，x≥1.y＝f(x)的图象如图所示． 1 (2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5. 5．(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|. (1)当a＝1时，求f(x)≤2的解集； 1a －，?时，f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围． (2)若g(x)＝4x2＋ax－3.当a>－1且x∈??22???11 解：(1)当a＝1时，f(x)＝?2，－2≤x≤2. ??4x，x>12 1 当x<－时，f(x)≤2无解； 2 11?11? 当－≤x≤时，f(x)≤2的解集为?x|－2≤x≤2?； 22??1 当x>时，f(x)≤2无解． 2 11?? 综上所述，f(x)≤2的解集为?x|－2≤x≤2?. ? ? 1 －4x，x<－ 2 1a －，?时，f(x)＝(a－2x)＋(2x＋1)＝a＋1，所以f(x)≥g(x)可化为a＋1≥g(x)．(2)当x∈? ?22?－?a＋1≥g??2??1a?1??a???又g(x)＝4x＋ax－3在?－2，2?上的最大值必为g?－2?、g?2?之一，则?， a??a＋1≥g??2?2 1 a≥－2??4 即?4，即－≤a≤2. 3 ??－3≤a≤2 又a>－1，所以－1 (2)若对于任意函数x，不等式|2x＋1|－f(x)<2a恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，不等式可化为|2x|＋|x－2|≥3， ??x<0?x>2?0≤x≤2?? 得?或?或?， ?－2x＋2－x≥3??2x＋x－2≥3?2x＋2－x≥3?? 1 解得x≤－或x≥1， 3 1 －∞，－?∪[1，＋∞)． 所以当a＝0时，不等式f(x)＋|x－2|≥3的解集为?3??(2)对于任意实数x，不等式|2x＋1|－f(x)<2a恒成立，即|2x＋1|－|2x＋3a2|<2a恒成立． 因为|2x＋1|－|2x＋3a2|≤|2x＋1－2x－3a2|＝|3a2－1|， 所以要使原不等式恒成立，只需|3a2－1|<2a. 当a<0时，无解；当0≤a≤当a>313 时，1－3a2<2a，解得 33 时，3a2－1<2a，解得 1?所以实数a的取值范围是??3，1?. 7．(2018·福州模拟)已知函数f(x)＝x2－|x|＋1. (1)求不等式f(x)≥2x的解集； x ＋a?在[0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． (2)若关于x的不等式f(x)≥??2?解：(1)不等式f(x)≥2x等价于x2－|x|－2x＋1≥0，① 当x≥0时，①式化为x2－3x＋1≥0， 3＋53－5 解得x≥或0≤x≤； 22当x<0时，①式化为x2－x＋1≥0， 解得x<0，综上所述，不等式f(x)≥2x的解集为?x|x≤ ?? 3－53＋5? ?. 或x≥ 22? x ＋a?在[0，＋∞)上恒成立， (2)不等式f(x)≥??2?x 等价于－f(x)≤＋a≤f(x)在[0，＋∞)上恒成立， 2 x 等价于－x2＋x－1≤＋a≤x2－x＋1在[0，＋∞)上恒成立， 213 等价于－x2＋x－1≤a≤x2－x＋1在[0，＋∞)上恒成立， 221?2151151?由－x＋x－1＝－?x－4?－≤－(当且仅当x＝时取等号)， 216164 2 3?27733?x－x＋1＝?x－4?＋≥(当且仅当x＝时取等号)， 216164 2 157所以－≤a≤， 1616 157－，?. 综上所述，实数a的取值范围是??1616? 8．(2018·武汉调研)已知函数f(x)＝x2＋2，g(x)＝|x－a|－|x－1|，a∈R. (1)若a＝4，求不等式f(x)>g(x)的解集； (2)若对任意x1，x2∈R，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝4时，不等式f(x)>g(x)为x2＋2>|x－4|－|x－1|， －3，x≥4，?? g(x)＝|x－4|－|x－1|＝?－2x＋5，1 ??3，x≤1.①当x≥4时，x2＋2>－3恒成立，所以x≥4. ②当1 ③当x≤1时，x2＋2>3，则x>1或x<－1，所以x<－1. 由①②③可知不等式f(x)>g(x)的解集为{x|x<－1或x>1}． 1－a，x≥a，?? (2)当a≥1时，g(x)＝?a＋1－2x，1 ??a－1，x≤1，要使f(x1)≥g(x2)，只需2≥a－1，则a≤3， 所以1≤a≤3. －a＋1，x≥1，?? 当a<1时，g(x)＝?2x－a－1，a ??a－1，x≤a要使f(x1)≥g(x2)，只需2≥1－a，则a≥－1，所以－1≤a<1. 综上，实数a的取值范围是[－1，3].
高考数学二轮复习：第二部分专项二 专题七 2 第2讲 专题强化训练 Word版含解析
