第6讲 正弦定理和余弦定理
第1课时 正弦定理和余弦定理
一、知识梳理
1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 ＝＝＝2R sin Asin Bsin C(R为△ABC外接圆半径) (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； 变形 (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin 余弦定理 abca2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C b2＋c2－a2cos A＝； 2bcc2＋a2－b2cos B＝； 2caa2＋b2－c2cos C＝ 2ab内容 C＝csin A 2.△ABC的面积公式 1
(1)S△ABC＝a·h(h表示边a上的高)．
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(2)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
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(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
23．三角形解的判断
图形 A为锐角 A为钝角或直角 关系式 解的 个数 bsin A A为钝角或直角时，a＝b，a 常用结论 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π； 变形： A＋BπC2 ＝－. 22 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C. (2)cos(A＋B)＝－cos C. (3)sin(4)cos A＋BA＋B＝cos . 22＝sin . 22 CC3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B. 二、习题改编 1．(必修5P10B组T2改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若c A，则△ABC为( ) A．钝角三角形 C．锐角三角形 答案：A 2．(必修5P10A组T4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( ) A.C.π 62π 3 B.π 3 B．直角三角形 D．等边三角形 5πD． 6 解析：选C.因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得 b2＋c2－a29＋25－4912π cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故 2bc3023 选C. 3．(必修5P3例1改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于 ． 解析：设△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，由题意及余弦定理得cos Ab2＋c2－a2c2＋16－12111＝＝＝，解得c＝2.所以S＝bcsin A＝×4×2×sin 60°＝23. 2bc2×4×c222 答案：23 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.( ) (3)在△ABC中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、易错纠偏 常见误区(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根； (2)不会灵活运用正弦、余弦定理． 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝ ． 解析：由题意：＝，即sin B＝ sin Bsin C＝45°，则A＝180°－B－C＝75°. 答案：75° bcbsin C＝c6×3 32 ＝ 2 ，结合b＜c可得B2 1 2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝ 42sin B，则c＝ ． 3 解析：由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3. 2 a2＋b2－c2 由余弦定理cos C＝， 2ab12＋3－c得－＝，解得c＝4. 42×2×3答案：4 利用正弦、余弦定理解三角形(师生共研) (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin 1bA－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝( ) 4c2 2 2 A．6 C．4 B．5 D．3 (2)(2020·济南市学习质量评估)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＋a＝2bcos A. ①求角B的大小； ②若a＝5，c＝3，边AC的中点为D，求BD的长． 【解】 (1)选A.由题意及正弦定理得，b－a＝－4c，所以由余弦定理得，cos A＝ 2 2 2 b2＋c2－a2－3c21b＝＝－，得＝6.故选A. 2bc2bc4c(2)①由2c＋a＝2bcos A及正弦定理， 得2sin C＋sin A＝2sin Bcos A， 又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以2sin Acos B＋sin A＝0， 1因为sin A≠0，所以cos B＝－， 22π 因为0＜B＜π，所以B＝. 3 ②由余弦定理得b＝a＋c－2a·ccos∠ABC＝5＋3＋5×3＝49，所以b＝7，所以AD7＝. 2 2 2 2 2 2 b2＋c2－a249＋9－2511 因为cos∠BAC＝＝＝， 2bc2×7×314 4971119222 所以BD＝AB＋AD－2·AB·ADcos∠BAC＝9＋－2×3××＝， 42144所以BD＝ 19 . 2 (1)正、余弦定理的选用 ①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角； ②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． (2)三角形解的个数的判断 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 1．(一题多解)(2020·广西五市联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝3，A＝30°，B为锐角，那么A∶B∶C为( ) A．1∶1∶3 C．1∶3∶2 B．1∶2∶3 D．1∶4∶1 解析：选B.法一：由正弦定理＝，得sin B＝ sin Asin Babbsin A3 ＝. a2 因为B为锐角，所以B＝60°，则C＝90°，故A∶B∶C＝1∶2∶3，选B. 法二：由a＝b＋c－2bccos A，得c－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，△ 2 2 2 2 ABC为等腰三角形，B＝120°，与已知矛盾，当c＝2时，a D，故选B. 2．(2020·河南南阳四校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝( ) A.82 3 B.143 3 7C. 373D． 3 1222 解析：选D.因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a＝b＋c－2bccos A＝64＋9－2×8×3× 2 a714373 ＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝＝＝，所以R＝，故 sin A333 2 选D. 3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)＝sinA－sin Bsin C. (1)求A； (2)若2a＋b＝2c，求C. 解：(1)由已知得sinB＋sinC－sinA＝sin Bsin C，故由正弦定理得b＋c－a＝bc. 2 2 2 2 2 2 2 2 b2＋c2－a21由余弦定理得cos A＝＝. 2bc2 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. (2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即6312 ＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－. 2222 由于0°＜C＜120°，所以C＋60°＝135°， 即C＝75°.
2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理和余弦定理教案文新
