2.函数f(x)=log1(x-4)的单调递增区间为
2
2
( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2)
解析:由x-4>0,得x>2或x<-2,即函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞). 设u=x-4,则u在区间(-∞,-2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数.
又因为y=log1u在区间(0,+∞)上是减函数,所以函数f(x)=log1(x-4)的单调递增区间
2
2
2
2
2
为(-∞,-2).
答案:D
3.若函数f(x)=ln(x+√??+??2)为奇函数,则a=1. 解析:由题意,知f(x)+f(-x)=0,即ln(x+√??+??2)+ ln(-x+√??+??2)=ln(a+x-x)=ln a=0,解得a=1.
2
2
要点训练三 函数的零点与方程的解
1.方程f(x)=0有实数解?函数y=f(x)的图象与x轴有公共点?函数y=f(x)有零点,在解决函数与方程问题时,要注意三者之间的关系,在解题中要充分利用这个关系实现问题的转化,同时还要注意使用函数的性质,如函数的单调性、奇偶性等.
2.确定函数零点的个数或函数零点所在区间的两个基本方法:(1)利用零点存在定理;(2)数形结合转化为函数图象的交点问题.
1.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 ( ) A.y=ln x
3
B.y=x+1
|x|
2
C.y=x-x D.y=e-e
解析:选项A,y=ln x的定义域为(0,+∞),故y=ln x不存在奇偶性;选项B,y=x+1是偶函数,但x+1=0无实根,即不存在零点;选项C,y=x-x是奇函数;选项D,y=e-e是偶函数,由e-e=0,得|x|=1,所以x=±1,存在两个零点.故选D.
答案:D
2.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为 A.0,
18
|x|
2
3
|x|
2
( )
12
B.1184
, C.
1142
, D.,1
解析:易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 因为f(8)=8-3<0,f(4)=4-2<0, 1
π
1
π
F(2)=2-1>0,f(1)=π>0,所以f(4)·f(2)<0,所以原函数的零点在区间(4,2)上.故选C.
答案:C
3.已知函数f(x)=|log3x|,若函数y=f(x)-m有两个不同的零点a,b,则 A.a+b=1 B.a+b=3 C.ab=1 D.b=a
解析:因为函数y=f(x)-m有两个不同的零点a,b,所以a≠b,且f(a)=f(b). 因为f(x)=|log3x|,所以log3a+log3b=0,即log3a+log3b=log3(ab)=0, 所以ab=1,故选C. 答案:C
4.函数f(x)=2|log0.5x|-1的零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
解析:函数的定义域为{x|x>0}.易知函数f(x)=2|log0.5x|-1(x>0)的零点个数?方程|log0.5x|=2??=(2)(x>0)的根的个数?函数y1=|log0.5x|(x>0)与y2=(2)(x>0)的图象的交点个数.如图,作出两个函数的图象,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B.
1
1
xxxmm1π1111
( )
1
x
答案:B
??2-2,??≤0,
5.函数f(x)={的零点个数是2.
2??-6+ln??,??>0
解析:当x≤0时,由x-2=0,得x=-√2;当x>0时,f(x)=2x-6+ln x在区间(0,+∞)上为增函数,且f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以f(x)在区间(0,+∞)上有且只有一个零点.
综上,可知f(x)的零点个数为2. 要点训练四 比较大小的方法 1.幂值的大小比较
(1)对于底数相同、指数不同的两个幂,可以利用指数函数的单调性来比较大小. (2)对于底数不同、指数相同的两个幂,可以利用幂函数的单调性来比较大小. (3)对于底数不同、指数也不同的幂,则应通过中间值(如0,1,-1等)来比较大小. (4)对于三个或三个以上的幂的大小比较,则应先根据值的大小(特别是与0,1比较)进行分组,再在各组中比较数的大小,最后综合在一起.
2.对数值的大小比较
(1)底数相同的对数的大小比较,可利用对数函数的单调性来求解.
(2)底数不同、真数相同的对数的大小比较,可取倒数,也可以使用图象比较大小. (3)底数、真数都不同的对数的大小比较,能化为同底的化成同底再比较大小,不能化成同底的则借助中间值比较大小.
3.幂值、对数值混合(三个)的大小比较
先区分各数值的正、负,再区分是大于1还是小于1,最后分类比较. 1.(天津高考)若a=log27,b=log38,c=0.3,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.clog24=2,知a>2. 由log330.2
0
0.2
2