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2024秋新教材高中数学第四章指数函数与对数函数章末复习课分层演练含解析新人教A版必修第一册

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章末复习课

要点训练一 指数型函数、对数型函数的定义域、值域

指数型函数与对数型函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解,有时解不等式(组)时要借助于指数函数、对数函数的单调性.

涉及指数函数、对数函数的值域问题有两个类型,一是形如y=af(x)

和y=logaf(x)的函数,

x一般要先求f(x)的值域,然后利用指数函数、对数的单调性求解;二是形如y=f(a)和

y=f(logax)的函数,一般要根据ax和logax的范围,利用函数y=f(x)的性质求解.

1.(全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10是 ( )

A.y=x B.y=lg x C.y=2 D.y=?? √xlg x的定义域和值域相同的

1解析:函数y=10

lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2的定义域均为R,排除选项

xA,C;y=lg x的值域为R,排除选项B,故选D.

答案:D

2??-1-2,??≤1,

2.若函数f(x)={且f(a)=-3,则f(6-a)=

-log2(??+1),??>1,A.- B.- C.- D.-

4

4

4

4

7

5

3

1

( )

解析:当a≤1时,f(a)= 2-2=-3, 即2=-1,不成立,舍去; 当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3, 即log2(a+1)=3,所以a+1=2=8, 所以a=7,此时f(6-a)=f(-1)=2-2=-4. 故选A. 答案:A

3.(江苏高考)函数f(x)=√log2??-1的定义域为{x|x≥2}.

解析:由题意,知log2x-1≥0,即log2x≥log22,解得x≥2,即函数f(x)的定义域为{x|x≥2}.

4.若函数f(x)=a+b(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=-.

2

x-2

3

a-1

a-1

7

3

??-1+??=-1,

解析:①当a>1时,f(x)在区间[-1,0]上单调递增,则{0无解.

??+??=0,②当0

3??=2,??-1+??=0,

则{0解得{所以a+b=-2. ??+??=-1,??=-2,

1

5.函数y=() ??

2

2

1

2-2??+2

(0≤x≤3)的值域为[,].

322

12

t11

解析:令t=x-2x+2,则y=().

因为t=x-2x+2=(x-1)+1(0≤x≤3),所以当x=1时,tmin=1;当x=3时,tmax=5.因此1≤t≤5,所以

(2)≤y≤(2),因此所求函数的值域为[32,2].

要点训练二 指数型函数、对数型函数的奇偶性、单调性(区间) 1.奇偶性

1

5

2

2

1

1

11

利用f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)判断奇偶性或求参数的值,判断奇偶性时注意考虑函数的定义域.

2.单调性(区间) 形如y=af(x)

或y=logaf(x)的函数的单调性要先求定义域,再根据y=a,y=logau和u=f(x)

u的单调性来确定,其单调性遵循“同增异减”的规律.

1.若函数f(x)=

2??+12??-??

是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为 ( )

A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞) 解析:由题意,知f(-x)=-f(x),即由f(x)>3,得

2??+12??-1

x2-??+12-??-??

=-2??+12??-??

,即

2??+1

1-??·2

??=2??+1??-2

??,所以a=1,所以f(x)=

2??+12??-1

.>3, 所以1<2<2,解得0

2.函数f(x)=log1(x-4)的单调递增区间为

2

2

( )

A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2)

解析:由x-4>0,得x>2或x<-2,即函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞). 设u=x-4,则u在区间(-∞,-2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数.

又因为y=log1u在区间(0,+∞)上是减函数,所以函数f(x)=log1(x-4)的单调递增区间

2

2

2

2

2

为(-∞,-2).

答案:D

3.若函数f(x)=ln(x+√??+??2)为奇函数,则a=1. 解析:由题意,知f(x)+f(-x)=0,即ln(x+√??+??2)+ ln(-x+√??+??2)=ln(a+x-x)=ln a=0,解得a=1.

2

2

要点训练三 函数的零点与方程的解

1.方程f(x)=0有实数解?函数y=f(x)的图象与x轴有公共点?函数y=f(x)有零点,在解决函数与方程问题时,要注意三者之间的关系,在解题中要充分利用这个关系实现问题的转化,同时还要注意使用函数的性质,如函数的单调性、奇偶性等.

2.确定函数零点的个数或函数零点所在区间的两个基本方法:(1)利用零点存在定理;(2)数形结合转化为函数图象的交点问题.

1.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 ( ) A.y=ln x

3

B.y=x+1

|x|

2

C.y=x-x D.y=e-e

解析:选项A,y=ln x的定义域为(0,+∞),故y=ln x不存在奇偶性;选项B,y=x+1是偶函数,但x+1=0无实根,即不存在零点;选项C,y=x-x是奇函数;选项D,y=e-e是偶函数,由e-e=0,得|x|=1,所以x=±1,存在两个零点.故选D.

答案:D

2.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为 A.0,

18

|x|

2

3

|x|

2

( )

12

B.1184

, C.

1142

, D.,1

解析:易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 因为f(8)=8-3<0,f(4)=4-2<0, 1

π

1

π

F(2)=2-1>0,f(1)=π>0,所以f(4)·f(2)<0,所以原函数的零点在区间(4,2)上.故选C.

答案:C

3.已知函数f(x)=|log3x|,若函数y=f(x)-m有两个不同的零点a,b,则 A.a+b=1 B.a+b=3 C.ab=1 D.b=a

解析:因为函数y=f(x)-m有两个不同的零点a,b,所以a≠b,且f(a)=f(b). 因为f(x)=|log3x|,所以log3a+log3b=0,即log3a+log3b=log3(ab)=0, 所以ab=1,故选C. 答案:C

4.函数f(x)=2|log0.5x|-1的零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

解析:函数的定义域为{x|x>0}.易知函数f(x)=2|log0.5x|-1(x>0)的零点个数?方程|log0.5x|=2??=(2)(x>0)的根的个数?函数y1=|log0.5x|(x>0)与y2=(2)(x>0)的图象的交点个数.如图,作出两个函数的图象,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B.

1

1

xxxmm1π1111

( )

1

x

答案:B

??2-2,??≤0,

5.函数f(x)={的零点个数是2.

2??-6+ln??,??>0

解析:当x≤0时,由x-2=0,得x=-√2;当x>0时,f(x)=2x-6+ln x在区间(0,+∞)上为增函数,且f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以f(x)在区间(0,+∞)上有且只有一个零点.

综上,可知f(x)的零点个数为2. 要点训练四 比较大小的方法 1.幂值的大小比较

(1)对于底数相同、指数不同的两个幂,可以利用指数函数的单调性来比较大小. (2)对于底数不同、指数相同的两个幂,可以利用幂函数的单调性来比较大小. (3)对于底数不同、指数也不同的幂,则应通过中间值(如0,1,-1等)来比较大小. (4)对于三个或三个以上的幂的大小比较,则应先根据值的大小(特别是与0,1比较)进行分组,再在各组中比较数的大小,最后综合在一起.

2.对数值的大小比较

(1)底数相同的对数的大小比较,可利用对数函数的单调性来求解.

(2)底数不同、真数相同的对数的大小比较,可取倒数,也可以使用图象比较大小. (3)底数、真数都不同的对数的大小比较,能化为同底的化成同底再比较大小,不能化成同底的则借助中间值比较大小.

3.幂值、对数值混合(三个)的大小比较

先区分各数值的正、负,再区分是大于1还是小于1,最后分类比较. 1.(天津高考)若a=log27,b=log38,c=0.3,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.clog24=2,知a>2. 由log33

0.2

0

0.2

2

2024秋新教材高中数学第四章指数函数与对数函数章末复习课分层演练含解析新人教A版必修第一册

章末复习课要点训练一指数型函数、对数型函数的定义域、值域指数型函数与对数型函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解,有时解不等式(组)时要借助于指数函数、对数函数的单调性.涉及指数函数、对数函数的值域问题有两个类型,一是形如y=af(x)和y=logaf(x)的函数,x一般要先求f(x)的值域,然
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