高二教材梳理使用资料1.3.1

第一章 1.3.1

A级 基础巩固

一、选择题

1．在下列结论中，正确的有( A ) (1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的，则原函数也是单调的． A．0个 C．3个

B．2个 D．4个

1

[解析] 分别举反例：(1)y＝lnx，(2)y＝(x>0)，

x(3)y＝2x，(4)y＝x2，故选A．

2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( A ) A．a≤0 C．a<2

B．a<1 1

D．a≤ 3

[解析] f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.

3．(2024·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( B ) A．0 C．2

B．1 D．3

[解析] ∵f(x)＝2x＋x3－2,00在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．

又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0， f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，

又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点． 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( B ) A．y＝sinx C．y＝x3－x

B．y＝xe2 D．y＝lnx－x

[解析] 对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B．

5．y＝xlnx在(0,5)上是( C ) A．单调增函数 B．单调减函数

11

C．在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增

ee11

D．在(0，)上单调递增，在(，5)上单调递减

ee[解析] ∵y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋1， 1

∴当0

e1

∴y在(0，)上单调递减．

e1

当－1，即y′>0， e1

∴y在(，5)上单调递增．

e

6．(2024·商洛模拟)设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( B )

[解析] 由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减， 即有导数小于0，可排除C，D；

再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， 函数f(x)递减，再递增，后递减，

即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，

可排除A；则B正确． 故选B． 二、填空题

17．(2024·沙市区校级期中)函数y＝x3－x2－x的单调增区间为(－∞，－)，(1，＋∞). 31

[解析] 由y＝x3－x2－x，∴f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x＋)(x－1)．

31

令f′(x)>0，解得x>1或x<－. 3

1

函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－)，(1，＋∞)．

31

故答案为(－∞，－)，(1，＋∞)．

3

π5π8．(2024·无锡期末)函数f(x)＝x＋2cosx(0≤x≤2π)的单调递减区间为(，). 66[解析] ∵函数y＝x＋2cosx，∴y′＝1－2sinx＜0， 1

∴sinx＞，

2

π5ππ5π

又∵x∈[0,2π]，∴x∈(，)，故答案为(，)．

6666三、解答题

9．(2024·天津理，20(1)改编)已知函数f(x)＝ax，其中a>1.求函数h(x)＝f(x)－xln a的单调区间．

[解析] 由已知，h(x)＝ax－xln a，有h′(x)＝axln a－ln a＝lna(ax－1)， 由a>1，得lna>0，令h′(x)>0得x>0， 令h′(x)<0，得x<0，

所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．

10．(2024·长沙高二检测)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)·ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．

[解析] ∵f(x)＝(x2－2ax)ex， ∴f ′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex ＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]，∵ex>0， 令f ′(x)>0，即x2＋2(1－a)x－2a>0，