第七章 稳恒电流的磁场 风怡湘 辛卯年
§7-1 磁场 磁感应强度 磁力线 磁通量
一、磁感应强度
??Fmax大小：B?， 方向：沿Fmax?V方向（规定为沿磁场方向）。
qV二、磁力线
（1）磁力线是闭合的。这与静电场情况是截然不同的。磁场为涡旋场。
?B（2）磁力线不能相交，因为各个场点的方向唯一。
三、磁通量
定义：通过某一面的电力线数称为通过该面的磁通量，用?m表示。
s?? ?m??d?m??B?ds――――――――――――――――――――――――――（7-1）
磁通量单位：SI制中为Wb（韦伯）。
对于闭合曲面，因为磁力线是闭合的，所以穿入闭合面和穿出闭合面的磁力线条数相等，故?m?0，即
??闭合曲面 ?B?ds?0――――――――――――――――――――――――――――（7-2）
s此式是表示磁场重要特性的公式，称为磁场中高斯定理。
§7-2 毕奥——沙伐尔定律
一、毕奥——沙伐尔定律 ????0Idl?r dB? （矢量式）―――――――――――――――――――――――（7-3） 34?r?说明：（1）毕奥——沙伐尔定律是一条实验定律。 （2）Idl是矢量，方向沿电流流向。
??dB?0（3）在电流元延长线上 。（4）实验表明：迭加原理对磁感应强度也适用。整个导线在P点产生的B为
?????Idl?rB??dB??0―――――――――――――――――――――（7-4） 34?rl二、磁场计算
1、直载流导线
?设有一段直载流导线，电流强度为I，P点距导线为a，求P点B=？
???IdlIdldBl解：如图所示，在AB上距O点为处取电流元，在P点产生的 的大小为
?Idlsin?dB?04?r2 ， ????方向垂直指向纸面（Idl?r方向）。同样可知，AB上所有电流元在P点产生的dB方向均相同，所以P点B的大小即等于下面的代数积分
B??dB?a?0Idlsin??r2， AB4??统一变量，由图知
asin(???)sni?，l?actg(???)??actg?
adl??a?(?csc2?)d??acsc2?d??d?2sin?
r??2?B?
?0??4?1I?0I(cos?1?cos?2)4?a，B垂直指向纸面。
?IB?02?a。 讨论：（1）AB??时，?1?0，?2??，
??I?1?B?02，?2??，4?a。 （2）对无限长（A在O处），
?I强调：（1）B?0?cos?1?cos?2?要记住，做题时关键找出a、?1、?2。
4?a（2）?1、?2是电流方向与P点用A、B连线间夹角。
??如图所示，一宽为a的薄金属板，其电流强度为I并均匀分布。试求在板平面内距板一边为b的P点的B。
解：取P为原点，x轴过平板所在平面且与板边垂直，在x处取窄条，视为无限长载流导线，它在点产生
a?2d??sin?2?Isin??0?sin?d?2a4?a?1sin2?
2、薄金属板
?
dB的方向为：垂直纸面向外，大小为
I?0dx?dIadB?0?2?x2?x（均匀分布）
??所有这样窄条在P点的dB方向均相同，所以求B的大小可用下面代数积分进行：
a?bB??dB??b?0Idx?0Ib?a?ln2?ax2?aa?0I。 2?a。
强调：（1）无限长载流导线产生磁场B?（2）迭加方法要明确。
3、载流圆线圈
??解：取x轴为线圈轴线，O在线圈中心，电流元Idl在P点产生的dB大小为
?Idlsin??0Idl?dB?0?(??)224?r4?r2
??????设dl?纸面，则dB在纸面内。dB分成平行x轴分量dB//与垂直x轴分量dB?。在与Idl在同一直径上的
?'?'?'?'?电流元Idl在P点产生的dB//、dB?，由对称性可知，dB?与dB?相抵消，可见，线圈在P点产生垂直x轴
的分量由于两两抵消而为零，故只有平行x轴分量。
如图所示，半径为R的载流圆线圈，电流为I，求轴线上任一点P的磁感应强度B。
??B ??0 ，
2?RB?B//??dBcos???0?0Idlcos?24?r32?0I2?Rdl?0I2?RdlR?0IR?0IR2?sin?????2?R?223?224??r4?rr4?r2(x?R) 00
的方向沿x轴正向。 讨论：（1）x=0处， B??0I。 2??0R2I（2）x>>R， B?。
2?3（3）线圈左侧轴线上任一点B方向仍向右。 强调：N匝线圈：B?4、载流螺线管的磁场
?0R2NI2x2?R?322?。
?已知导线中电流为I，螺线管单位长度上有n匝线圈，并且线圈密绕，求螺线管轴线上任一点的B。
解：如图所示，螺线管的纵剖图。此剖面图设在纸面内。在距P点为x处取长为dx，dx上含线圈为ndx。因
?
为螺线管上线圈饶得很密，所以，dx段相当于一个圆电流，电流强度为Indx。因此宽为dx的圆线圈产生的dB
大小为：
R2dI?0R2IndxdB???2322322(R?x)2(R?x2)2。
?
所有线圈在P点产生的dB均向右，所以P点B为
?0R2IndxB??dB???22122(x?R)AB?0??0RIndx?22122AB(x?R)?x?Rctg??2?dx??Rcsc?d?，
?0R2In2?22，
?B???Rcsc2?d??0R2In?12?R3csc3??2?R2??sin?d??11??0In2
(cos?2?cos?1)B??0In?const讨论：螺线管无限长时，?1??，?2?0，。半无限长：如B在无穷远处，A轴线上的
一点有?1??，?2?0，?B?
1?0nI。
225、如图所示，在纸面上有一闭合回路，它由半径为R1、R2的半圆及在直径上的二直线段组成，电流为I。
?'??求（1）c圆心O处B0＝？ (2)若小半圆绕AB转180，此时O处B0＝？
?解：由磁场的迭加性知，任一点B是由二半圆及直线段部分在该点产生的磁感应强度矢量和。此题中，因为O
在直线段沿长线上，故直线段在O处不产生磁场。
(1)小线圈在O处产生的磁场大小为：B0小?方向：垂直纸面向外。
大线圈在O处产生的磁场大小为：B0大?1?0I（每长度相等的圆弧在O处产生的磁场大小相同）； 22R11?0I；方向：垂直纸面向里。 22R2?B0?B0小?B0大?
?0I14[R1??'(2)B0,可知
'?B0小?B0小?'?B0大?B0大，
?'?'B0小、B0大均垂直纸面向里。
?0I11'‘’??B0?B?B?[?] 方向：垂直纸面向里。 0小0大4R1R2
1]R2 方向：垂直纸面向外。
§7-3 运动电荷的磁场
运动电荷的磁场 ????0qV?r B?―――――――――――――――――――――――――――（7-5）
4?r3??例、设电量为+q的粒子，以角速度做半径为R的匀速圆周运动，求在圆心处产生的B。 ????0qV?r?解：<方法一>按B?，运动电荷产生的B为
4?r3????0qV?rB?， 34?r大小为：B??04?qVrsinr3?2。?r=R，V?R?， ?B??0q?。
4?R方向：垂直纸面向外。
?用圆电流产生B的公式，由电荷运动，则形成电流。在此，+q形成的电流流线与+q运动的轨迹（圆周）重
?合，且电流为逆时针方向，相当于一个平面圆形载流线圈。可知，B的方向垂直纸面向外。根据平面圆形载流
??线圈在其中心产生B的大小公式，可求出B的大小。
设运动频率为f，可有
<方法二>
I?qf?q
??I?q??B?0?02?2?4?R。
§7-4 安培环路定律
安培环路定律
?? ?B?dl??0?I――――――――――――――――――――――――――（7-6）
LL内表明：沿一个回路积分等于此回路内包围电流的代数和的?0倍。
?? （2）?B?dl??0?I，说明了磁场为非保守场（涡旋场）。
?? （3）安培环路定律只说明?B?dl仅与L内电流有关，而与L外电流无关。对于B是l内外所有电流
LLL内说明：（1）如果l不是平面曲线，载流导线不是直线，上式也成立。
??1、求如右图情况?B?dl=？
L产生的共同结果。
解：由安培环路定律有：
L???B?dl??0?I??0(I2?2I1)。
L内2、无限长均匀载流直导体
有一无限长均匀载流直导体，半径为R，电流为I均匀分布，求分布。
解：由题意知，磁场是关于导体轴线对称的。磁力线是在垂直于该轴平面上以此轴上点为圆心的一系列同心圆
周，在每一个圆周上B的大小是相同的。
过P点做以a为圆心半径为ra的圆周，aP与轴垂直， 安培环路定律为
?（1）导体内P处BP=？
1??可知 ?B?dl??Bdlcos00??Bdl?B?dl?B?2?rP ,
L??L?B?dl??0?I （取过P 点的一电力线为回路1）
L1内L1L1L1L122IrP2?0?I??0[2??rP]??0I2?B?2?r??IrPP0?RRR2 L1内
?I即 BP?02rP 。
2?R方向如图所示（与轴及rP垂直）。
?（2）导体外任一点Q处BQ=？
?? ?B?dl??0?I
L2L2内过Q点做以O为圆心，rQ为半径的圆周，圆周平面垂直导体轴线，安培环路定律为：
??可有： ?B?dl?B?2?rQ，?0?I??0I，
L2L2内 BQ?3、螺绕环
?0I 。BQ方向如图所示（与轴线及rP垂直）。 2?rQ如图所示，匀密地绕在圆环上的一组圆形线圈，形成螺线管。设环上导线共N匝，电流为I，求环内任一点=？
解：如果螺线管上导线绕的很密，则全部磁场都集中在管内，磁力线是一系列圆周，圆心都在螺线管的对称轴上。由于对称之故，在同一磁力线上各点的B的大小是相同的。下面给出了螺线管过中心的剖面图。取P 所在磁力线为积分路径l，
l???B?dl??0?I
l内??20可知： ?B?dl??Bdlcos0?B?dl?Bl ，
lll
?0?I??0NI?Bl??0NIl内即 B??0NIl
BP??0NIl，方向在纸面内垂直OP.
讨论：（1）因为r不同时，l不同，所以不同半径r处大小不同。
（2）当L表示环形螺线管中心线的周长时，则在此圆周上各点B的大小为B??0NIL??0nI，n?N L为单位长度上的匝数。
（3）如果环外半径与内半径之差<<环中心线的半径R时，则可认为环内为均匀磁场（大小），即大小
均为B??0NIL??0nI。
（4）环形螺线管中结果与无限长直螺线管中心轴线上的大小相同。
运用安培环路定律时的程序如下：
（1）分析磁场的对称性； （2）适选闭合回路（含方向）；
L????（3）求出?B?dl??，?0?I?? （4）利用?B?dl??0?I,求出的值。
L内LL内
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