→1→→
(2)如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是BC的中点，若向量AM＝AB＋mAC，
4→→→
且AM的终点M在△ACD的内部(不含边界)，则AM·BM的取值范围是________．
答案 (－2,6)
→→?1→→?→→解析 AM·BM＝?AB＋mAC?(BA＋AM)
?4?→??1→→??3→
＝?AB＋mAC??－AB＋m·AC? ?4??4?32＝－×16＋16m
16＝16m－3，
2
?13?由平行四边形法则可得m∈?，?， ?44?
→→
所以AM·BM的取值范围是(－2,6)． 热点三 平面向量的综合问题
?3?且a·(a例3 (1)已知正实数x，y满足向量a＝(x＋y,2)，b＝(xy－2，1)共线，c＝?m，?，
?2?
－c)≥0恒成立，则实数m的取值范围是________． 17??答案 ?－∞，? 4??
解析 由a＝(x＋y,2)，b＝(xy－2,1)共线得x＋y＝2(xy－2)， ?x＋y?
则x＋y＋4＝2xy≤，
2即(x＋y)－2(x＋y)－8≥0， 当且仅当x＝y时等号成立． 又由x，y是正实数，得x＋y≥4. 不等式a·(a－c)≥0， 即a≥a·c，
所以(x＋y)＋4≥m(x＋y)＋3，
即(x＋y)－m(x＋y)＋1≥0，令x＋y＝t，t≥4， 则t－mt＋1≥0，t∈[4，＋∞)．(*) 对于方程t－mt＋1＝0，当Δ＝m－4≤0，
2
2
2
2
2
2
2
2
6
即－2≤m≤2时，(*)式恒成立；
当m<－2时，相应二次函数y＝t－mt＋1的对称轴t＝<－1，(*)式恒成立；
2当m>2时，由相应二次函数y＝t－mt＋1的对称轴t＝<4，且16－4m＋1≥0，
217
得2 4 17 综上可得，当m≤时，(*)式恒成立， 417??则实数m的取值范围是?－∞，?. 4?? sin A→→→→→→ (2)在△ABC中，若BC·BA＋2AC·AB＝CA·CB，则的值为________． sin C答案 2 22 mm→→→→→→ 解析 方法一 由BC·BA＋2AC·AB＝CA·CB， b2＋c2－a2a2＋c2－b2 得2bc×＋ac× 2bc2aca2＋b2－c2 ＝ab×， 2ab化简可得a＝2c. sin Aa由正弦定理得＝＝2. sin Cc方法二 作AO⊥BC，以O为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)， → 所以AC＝(c，－a)， →→ AB＝(b，－a)，BC＝(c－b,0)， BA＝(－b，a)，CA＝(－c，a)，CB＝(b－c,0)， →→→→→→则由BC·BA＋2AC·AB＝CA·CB， 得b＋2cb＋2a－c＝0， 所以b－2cb＋c＝(c－b)＝2(a＋b)， 所以BC＝2AB. 7 2 2 2 2 2 2 2 2 →→ → sin ABC由正弦定理得＝＝2. sin CAB思维升华 向量和三角函数、解析几何、不等式等知识的交汇是高考的热点，解决此类问题的关键是从知识背景出发，脱去向量外衣，回归到所要考查的知识方法． 跟踪演练3 (1)若向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|a＋b|≤2a·b，则cos(α－β)的值是________． 答案 1 解析 因为|a＋b|≤2a·b， 所以?cos α＋cos β?＋?sin α＋sin β?≤2cos(α－β)， 且cos(α－β)≥0，所以2＋2cos(α－β)≤4cos(α－β)， 2cos(α－β)－cos(α－β)－1≥0， 1 所以cos(α－β)≥1或cos(α－β)≤－(舍去)， 2所以cos(α－β)＝1. 2 2 2 2 ?1?(2)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a?b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝?2，?，?2? →??n＝?，0?，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足OQπ ?3 ? → ＝m?OP＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________． ?11?答案 ?－，? ?22? →→ 解析 令Q(c，d)，由新的运算，可得OQ＝m?OP＋n 1π1???π???＝?2x，sin x?＋?，0?＝?2x＋，sin x?， 232???3???πc＝2x＋，??3∴?1 d＝??2sin x， 1?1π?消去x，得d＝sin?c－?， 6?2?2 1?1π?∴y＝f(x)＝sin?x－?， 6?2?2 ?11?易知y＝f(x)的值域是?－，?. ?22? →→ 1．(2016·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA 8 ＝4，→BF·→CF＝－1，则→BE·→ CE的值是________． 答案 78 解析 设→AB＝a，→ AC＝b，则 →BA·→ CA＝(－a)·(－b)＝a·b＝4. 又∵D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点， 则→AD＝112(→AB＋→ AC)＝12a＋2b， →AF＝2AD→＝1a＋1 333 b. → AE＝1AD→＝1a＋1 36 6 b， →BF＝→BA＋→ AF＝－a＋13a＋1213b＝－3a＋3b， →CF＝→CA＋→ AF＝－b＋11123a＋3b＝3a－3b， 则→BF·→CF＝??21?－3a＋3b?????12?3a－3b??? ＝－29a2－29b2＋5 9a·b ＝－2225 9(a＋b)＋9×4＝－1， 可得a2＋b2 ＝292 . 又→BE＝→BA＋→ AE＝－a＋11516a＋6b＝－6a＋6b， →CE＝→CA＋→ AE＝－b＋16a＋16b＝16a－56b， 则→BE·→CE＝???－516a＋6b?????15?6a－6b??? ＝－5222652936(a＋b)＋36a·b＝－26736×2＋36×4＝8 . 9 →→→→→ 2．(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1,1，2，OA与OC的→→→→→ 夹角为α，且tan α＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________. 答案 3 →→→→ 解析 如图，设OD＝mOA，DC＝nOB，则在△ODC中，有OD＝m，DC＝n，OC＝2，∠OCD＝45°， 由tan α＝7，得cos α＝又由余弦定理知， 2 ， 10 ?m2＝n2＋?2?2－22ncos 45°，?22 ?n＝m＋?2?2－22mcos α， 2 2 m－n＝2－2n， ①??即?222 n－m＝2－m， ②?5? 2 ①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n， 5代入①得12n－49n＋49＝0， 77 解得n＝或n＝， 43 775 当n＝时，m＝10－5×＝－<0(舍去)， 333775当n＝时，m＝10－5×＝， 44457 故m＋n＝＋＝3. 44 2 3．(2024·全国Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________. 10
江苏省2024高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量学案202412142322
