。 。 。 内部文件，版权追溯 第3讲 平面向量
[考情考向分析] 1.江苏高考对平面向量侧重基本概念与基本计算的考查．重点是向量的数量积运算.2.向量作为工具，常与三角函数、数列、解析几何等结合，考查向量的综合运用．解题时要注意解析法和转化思想的渗透．
热点一 平面向量的线性运算
→1→
例1 (1)如图，在△ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N，
3→→→→
设AB＝a，AC＝b，用a，b表示向量AN，则AN＝____________.
1
答案 (a＋b)
6
解析 因为DE∥BC，所以DN∥BM， 则△AND∽△AMB，所以＝ANAD.
AMAB→1→→1→因为AD＝AB，所以AN＝AM.
33因为M为BC的中点，
→1→→1
所以AM＝(AB＋AC)＝(a＋b)，
22→1→1
所以AN＝AM＝(a＋b)．
36
(2)(2024·江苏启东中学模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，点E是BC的中点．若→
AC＝xAE＋yAD，其中x，y∈R，则x＋y的值为________．
→→
1
5答案 4
→1→→1→→
解析 由题意得，AE＝(AC＋AB)＝(AC＋3DC)
221→→→→3→
＝(AC＋3AC－3AD)＝2AC－AD， 22→1→3→∴AC＝AE＋AD，
24135故x＋y＝＋＝.
244
思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意向量共线定理的灵活运用．
(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．
跟踪演练1 (1)已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135°，→→→
设OC＝－OA＋λOB(λ∈R)，则λ的值为________． 1答案 2
解析 由∠AOC＝135°知，点C在直线y＝－x(x<0)上， 设点C的坐标为(a，－a)，a<0，
→→→
∵OC＝－OA＋λOB(λ∈R)，∴有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)， 1
得a＝－1＋λ，－a＝λ，消去a得λ＝. 2
(2)如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC→2→→1→→→
于点K，其中，AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，则λ的值为________．
52
2
答案 9
→2→→1→
解析 ∵AE＝AB，AF＝AD，
52→5→→→
∴AB＝AE，AD＝2AF.
2
2
→→→
由向量加法的平行四边形法则可知，AC＝AB＋AD， →→→→∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD) →?5→→?5→
＝λ?AE＋2AF?＝λAE＋2λAF，
?2?2
52由E，F，K三点共线，得λ＋2λ＝1，可得λ＝.
29
3
热点二 平面向量的数量积
→→
例2 (1)(2024·江苏兴化一中模拟)在△ABC中，点D，E分别在线段AC，BC上，AD·BE＝→→→→→
AB·DE，若AE，BD相交于点F，且|BF|＝3，则BE·BF＝________. 答案 3
→→→→
解析 如图，由已知，得AD·BE－AB·DE＝0，
→→→→→→
∴(AB＋BD)·BE－AB·(DB＋BE)＝0， →→→→
∴BD·BE－AB·DB＝0，
→→→→→
∴BD·(BE＋AB)＝0，即BD·AE＝0，
→→→2
∴BD⊥AE，在Rt△BEF中，BE·BF＝|BF|＝3.
(2)(2024·江苏扬州中学模拟)如图，已知AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，M为BC的中点，D为→→
以AC为直径的圆上一动点，则AM·DC的最小值是________．
答案 8－45
解析 以AC的中点O为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－2,0)，C(2，0)，O(0,0)，M(2，－2)，
设D(2cos α，2sin α)， →
∴AM＝(4，－2)， →
DC＝(2－2cos α，－2sin α)，
→→
∴AM·DC＝4×(2－2cos α)＋4sin α ＝8＋45sin(α－θ)，
4
其中tan θ＝2，
→→
∵sin(α－θ)∈[－1,1]，∴(AM·DC)min＝8－45.
思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用．
(2)求解几何图形中的数量积问题，把向量分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算，也是一种较为简捷的方法．
→→→→跟踪演练2 (1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，AM＝2MD.若AC·BM→→
＝－3，则AB·AD＝________.
3答案 2
→→
解析 方法一 设AB＝4a，AD＝3b， 其中|a|＝|b|＝1， →→
则DC＝2a，AM＝2b.
→→→→→→
由AC·BM＝(AD＋DC)·(BA＋AM)＝－3， 得(3b＋2a)·(2b－4a)＝－3， 1
化简得a·b＝，
83→→
所以AB·AD＝12a·b＝.
2
方法二 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，
B(4,0)，
设D(3cos α，3sin α)，
则C(3cos α＋2,3sin α)，M(2cos α，2sin α)． →→
由AC·BM＝－3，
得(3cos α＋2,3sin α)·(2cos α－4,2sin α)＝－3， 1
化简得cos α＝，
83→→
所以AB·AD＝12cos α＝. 2
5
江苏省2024高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量学案202412142322
