八年数学竞赛精选题（16）
姓名 一、选择题：
1、如图,ABCD是边长为1的正方形,对角线AC所在的直线上有两点M、N,使∠MBN=135°.则MN的最小值是( ).
(A)1+2 (B)2+2 (C)3+2 (D)22
2、如图,在△ABC中,∠BAC=60°,BC=18,D是AB上一点,AC=BD,E是CD的中点.则AE的长是( ).
(A)12 (B)9 (C)9 3 (D)以上都不对
3、已知在平面直角坐标系中,直线y=2kx+3-4k与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B,P是线段AB上一点,PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N.则矩形OMPN面积的最大值至少为( ). (A)3 (B)4 (C)6 (D)8
b2?1c2?1a2?1,y?,z?,.则x、y、z这4、设a、b、c是互不相等的任意正数,x?abc三个数( ).
(A)都不大于2 (B)至少有一个大于2 (C)都不小于2 (D)至少有一个小于2 5、若方程x-3x+1=0的两根也是程x-px+q=0的根,则(p+q)(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
6、已知a+b=1,b+c=2,c+a=2.则ab+bc+ca的最小值为( ).
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2008
的个位数字是( ).
(A) 3-
1111 (B)-3+ (C)-3- (D) 3 + 2222二、填空题：
1、已知实数a、b、c满足a-b+c=7,①ab+bc+b+c+16=0.②则(a-b)(a+b+c)为 .
2
-1
-1abc
a+b+c
的值
2、如图,AD是△ABC的角平分线,∠C=2∠B,AB=a-4b+4,AC=8c-27-2b,CD=9+4a-c.则BC= .
3、如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F、G分别是AB、OC、OD的中点,OA=AD,OB=BC,CD=3 AB.则∠FEG的度数是 .
4、关于x的一元二次方程mx+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实数根;关于x的一元二次方程x+(2a+m)x+2a+1-m=0有一个大于0且小于4的实数根.则a的整数值是 . 5、如图,在等腰Rt△ABC(∠C=90°)内取一点P,且AP=AC=a,BP=CP=b(a>b).则
2
2
22
222
a2?b2= .
a2-b2
6、一个人掷骰子,把每次掷得的数字加起来,如果超过20就停止.那么,当他停下来的时候,他最有可能掷得数字的总和是 . 三、解答题：
1、已知k为常数,关于x的一元二次方程(k-2k)x+(4-6k)x+8=0的解都是整数.求k的值.
2
2
2、如图所示，在?ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点．?BAC?90?， 求证：BP2?CP2?2AP2.
3、如图，在□ABCD中，点E在AD边上，CE平分∠BCD，BE⊥CE.，求证：BC＝2CD.
A B E D C
4、已知，如图ΔABC中，CE⊥AD于点E，BD⊥AD于点D，M是BC中点. 求证：ME＝MD.
E A
B D M C
5、如图所示，在等边三角形ABC中，AB＝2，点P在AB边上，过P点画一直线交BC的延长线于点D，且CD?3．
（1）若AP?1，求?PCD的面积．
（2）若P点是AB边上一动点，CN//AB交PD于点N，问是否存在这样的P点，使CN＝1.5，
DN?33？若存在，求出DP的长． 2
参考答案
一、选择题： 1、B.
设AM=x.易证△ABM∽△CNB.所以,AB/CN=AM/CB,即1/CN=x/1,亦即CN=1/x. 故MN=AM+AC+CN=(x?1x)2?22?2?22 2、B.
如图,延长AC至点F,使CF=AD.联结BF,过点C作CG∥AB交BF于点G,联结DG、AG.
因为AC=DB,CF=AD,所以,AC+CF=DB+AD,即AF=AB 又∠BAC=60°,所以,△ABF为等边三角形.
故AF=BF,∠F=60°.因为CG∥AB,所以,△CFG为等边三角形. 故CF=FG=CG.易知△AGF≌△BCF,有AG=BC=18. 又CG平行且相等 AD,故四边形ACGD是平行四边形. 因此,CD与AG互相平分,即E为AG的中点. 故AE=12 AG=12 ×18=9. 3、C.
设点P的坐标为(x0,y0),矩形OMPN的面积为S.则x0>0,y0>0,S=x0y0. 因为点P(x0,y0)在y=2kx+3-4k上,所以,y0=2kx0+3-4k. 故S=x0(2kx0+3-4k)=2kx20+(3-4k)x0.
因此,S4?2k?0-(3-4k)2最大=4?2k,即16k2-(24-8S最大)k+9=0.
因为k为实数,则有Δ=[-(24-8S最大)]2-4×16×9≥0.故|24-8S最大|≥24. 解得S最大≥6或S最大≤0(舍去). 当S最大=6时,k=-3/4. 4、B.
注意到xyz=b2?1a?c2?1b?a2?1c=(a?111a)(b?b)(c?c)
八年数学竞赛精选题(16)
