第一章 函数、极限和连续
【考试要求】
一、函数
1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数．2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性．3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像．4．掌握函数的四则运算与复合运算．
5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．6．了解初等函数的概念．
二、极限
1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．
2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．
3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x??，x???，x???）时函数的极限．
4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理．
5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较．6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．7．熟练掌握分段函数求极限的方法．
三、连续
1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．
2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．
3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零
点定理），会运用介值定理推证一些简单命题．4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限．5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．【考试内容】一、函数（一）函数的概念1．函数的定义：设数集D记为?R，则称映射f:D?R为定义在D上的函数，通常简y?f(x)，x?D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域．说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“g”、“F”、“?”等，相应的，函数可记作y?g(x)，y?F(x)，y??(x)等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作y?y(x)，这一点应特别注意．2．函数的解析（公式）表示法（1）函数的显式表示法（显函数）：号，而右端是含有自变量的式子，如y?f(x)形式的函数，即等号左端是因变量的符y?xex?2cosx，ex?1等．y?3sinx?xe?lnx（2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程F(x,y)果方程F(x,y)?0所确定，即如?0确定了一个函数关系y?f(x)，则称y?f(x)是由方程F(x,y)?0所确定的隐函数形式．说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程x?y3?1?0解出y?31?x，就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的．（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如?x?1,x?0 是由两个解析式表示的定义域为(??,??)的一个函数．f(x)???x?1,x?0（4）由参数方程确定的函数：如果自变量x与因变量y的关系是通过第三个变量t联系起?x??(t)来 ? （t为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参?y??(t)?x?2cost数方程 ? 表示的图形即为圆心在原点，半径为4的圆．?y?2sint（二）函数的几种特性1．有界性设函数f(x)的定义域为D，数集X?D，如果存在正数M对任一x?X都成立，则称函数，使得不存f(x)?M在，就称函数f(x)在X上有界．如果这样的Mf(x)在X上无界．f(x)的一个界，则比M大的数都是函数说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数M是函数2．单调性 设函数f(x)的界．f(x)的定义域为D，区间I?D．如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1?x2时，恒有f(x1)?f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；如果?x2时，恒有f(x1)?f(x2)，则称函数对于区间I上任意两点x1及x2，当x1f(x)在区间I上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．3．奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称．如果对于任一x?D，f(?x)?f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数．如果对于任一x?D，f(?x)??f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数．例如：f(x)?cosx、f(x)?x2都是偶函数，f(x)?sinx、f(x)?arctanx是奇函数，而f(x)?sinx?cosx则为非奇非偶函数．偶函数的图形关于y轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证．4．周期性 设函数f(x)的定义域为D．如果存在一个正数l，使得对于任一x?D有(x?l)?D，且f(x?l)?f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．例如：函数sinx、cosx都是以2?为周期的周期函数，函数tanx是以?为周期的周期函数．（三）函数的运算1．和差积商运算 设函数f(x)，g(x)的定义域依次为D1，D2，D?D1?D2??，则我们可f?g：(f?g)(x)?f(x)?g(x)，x?D；以定义这两个函数的下列运算：（1）和（差）（2）积f?g：(f?g)(x)?f(x)?g(x)，x?D；f(x)f?f?（3）商：?，x?D\\{xg(x)?0,x?D}．(x)??g(x)g?g?2．反函数（函数的逆运算）对于给定的系式y是x的函数y?f(x)，若将y当作自变量而x当作因变量，则由关y?f(x)所确定的函数x??(y)称为函数f(x)的反函数，记为y?f?1(x)，f(x)叫做直接函数．若直接函数y?f(x)的定义域为D，值域为M，则反函数y?f?1(x)的定义域为M，值域为D．且直接函数的图像与反函数的图像关于直线3．复合函数（函数的复合运算）设函数y?x对称．y?f(u)的定义域为Df，函数u?g(x)的定义域为Dg，且其值域Rg?Df，则由下式确定的函数y?f[g(x)]，x?Dg称为由函数u?g(x)与函数y?f(u)构成的复合函数，它的定义域为Dg，变量u称为中间变量．说明：g与f能构成复合函数的条件是函数g的值域Rg必须含在函数f的定义域Df内，即Rg?Df，否则不能构成复合函数．此外，复合函数可以由多个函数复合而成．（四）基本初等函数与初等函数1．基本初等函数幂函数：；y?x?（??R是常数）指数函数：对数函数：三角函数：y?ax（a?0且a?1）；；y?logax（a?0且a?1，特别当a?e时记为y?lnx）y?sinx，y?cosx，y?tanx，y?cotx，y?secx，y?cscx；反三角函数：y?arcsinx，y?arccosx，y?arctanx，y?arccotx．以上五类函数统称为基本初等函数．说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记．（1）反正弦函数y?arcsinx：是由正弦函数y?sinx在区间[???,]上的一段定22义的反函数，故其定义域为[?1,1]，值域为[?（2）反余弦函数??,]．22y?arccosx：是由余弦函数y?cosx在区间[0,?]上的一段定义的反函数，故其定义域为[?1,1]，值域为[0,?]．（3）反正切函数y?arctanx：是由正切函数y?tanx在区间(???,)上的一段22定义的反函数，故其定义域为(??,??)，值域为(?（4）反余切函数??,)．22y?arccotx：是由余切函数y?cotx在区间(0,?)上的一段定义
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