华东师范大学数学系2005年数学分析直升考试题
姓名______________学号 得分
注: 本试卷包含三类19题, 总分150分, 答题时间为3小时.
一.判别题 ( 正确的请证明, 错误的请举反例或说明理由; 每题5分，共30分 ) 1. 设 {(an,bn):n?1,2,?} 是一列开区间, 满足条件
(1) an?an?1?bn?1?bn,n?1,2,?; (2) bn?an?0,(n??). 则存在唯一的x?(an,bn),n?1,2,?.
2．设f(x)在(a,b)上可微，且f'(x)在(a,b)上单调，则f'(x)在(a,b)上连续.
nn?13. 设Pn(x)?a0x?a1x???an?1x?an 是f(x)在x?0处的n阶泰勒多项式, 则
Q2n(x)?a0x2n?a1x2(n?1)???an?1x2?an是f(x2)在x?0处的2n阶泰勒多项式.
4. 设f(x)在(x0??,x0??)上无限次可导. 若存在0????,使
?x?(x0??,x0)?(x0,x0??),f(x)?f(x0), 则存在k,使?0?i?2k,f而f(2k)(i)(x0)?0,
(x0)?0.
5．设f(x)是[a,b]上可积函数.若
?baf(x)dx?0,则存在??0和[a1,b1]?[a,b],使
?x?[a1,b1],f(x)??.6．I(y)???1sin(xy)dx在y?(1,?)上一致收敛.
1?x?y
二. 计算题 ( 请写出计算步骤. 每题6分，共36分 ) 7. 求limx?0x21?xsinx?cosxx1?x2.
8. 求f(x)?的麦克劳林展开式.
9. 求I(n)??10xnlnnxdx,n?1,2,?.
10. 设z?f(u)，方程u??(u)??xyP(t)dt定义了隐函数u?u(x,y), 其中f(u),?(u)可
?z?z?P(x). ?x?y微,P(t),?'(u)连续, 且?'(u)?1. 求P(y)11. 求12. 求
22222??{(x,y,z):x?y?z?1}. 其中(y?z)dS,???2222z?5?x?y 其中为曲面上z?1y(x?z)dydz?xdzdx?(y?xz)dxdy.S??S的部分, 取下侧.
三. 证明题 ( 证明中, 不可用实变函数的结论; 每题12分，共84分 ) 13. 设f(x)在(??,??)上一致连续,
???0,g(x)?sup{f(y)?f(z):y,z?(x??,x??)}.
求证：g(x)在(??,??)上一致连续.
14. 设f(x)是定义在(??,?)上的连续但非一致连续的函数, 且 limx??f(x)??.在(??,?)上可微且limx??g'(x)?a?0.
求证:g(f(x))在(??,?)上非一致连续.
15. 设非常值函数f(x)在(??,?)上有任意阶导数, 且存在M?0, 使?x?(??,?),?n,f(n)(x)?Mn. 求证:
(1) ?x0,f(x)在x?x0处的泰勒级数收敛于f(x).
(2) ?c?(??,?),f(x)?c在任意有限区间[a,b]内至多有有限多个解. 16．设{fn(x)}是定义在[a,b]上的连续函数列，满足条件: （1）?x?[a,b],?n,fn(x)?fn?1(x); （2）?x?[a,b],limn??fn(x)???.
求证：{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于??, 即：
?M?0,?N,?n?N,fn(x)?M对一切x?[a,b]成立.
17. 设f(x,y)是定义在[a,b]?[c,d]上的有二阶连续偏导的二元函数.
g(x)
（1）证明：
??fDxy(x,y)dxdy???fyx(x,y)dxdy；
D（2）用（1）证明：?(x,y)?[a,b]?[c,d],fxy(x,y)?fyx(x.y). 18. 若 f(x)是[0,1]上连续. 求证：limnxn??0?1n?1f(x)dx?f(1).
19. 设
D?{(x,y):x2?y2?1},f(x,y)在D上有一阶连续的偏导数, 且在边界
x2?y2?1上恒为0.
求证:
??D???f???f???f(x,y)dxdy?max??????. ??3(x,y)?D???x???y?????2212提示: 可利用极坐标变换及等式f(cos?,sin?)?0;
华东师范大学数学系数学分析直升考试题 .doc
