山西省 中考数学三模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（﹣2）×3的结果是（ ） A．6
B．﹣6 C．1
D．﹣5
2．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠COB内一点，且OE⊥AB，∠AOC=35°，则∠EOD的度数是（ ）
A．155° B．145° C．135° D．125° 3．下列计算正确的是（ ） A．（﹣2）=8 B．
3
=±2 C． =﹣2 D．|﹣2|=﹣2
的点最接近的是（ ）
4．如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示﹣
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．我们在探究“任意一个四边形内角和是多少度？”时，采用的方法是连接四边形的一条对角线，把四边形分割成两个三角形，从而探究出任意四边形的内角和等于360°，这一过程体现的数学思想是（ ） A．转化思想
B．方程思想
C．函数思想
D．数形结合思想
6．在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当0＜x1＜x2时，
有y1＞y2，则k的取值范围是（ ） A．k
B．k
C．k
D．k
7．如图，正方形ABCD是一块绿化带，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，阴影部分EOCF，AOGH都是花圃，一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P为
上一点，则tan∠APC的值为（ ）
A． B． C． D．1
9．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，
以原点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（1，） B．（2，6） C．（2，6）或（﹣2，﹣6） D．（1，）或（﹣1，﹣）
10．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h（单位：m）
与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t﹣5t，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是（ ） A．6s B．4s C．3s D．2s
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．计算
= ．
2
12．某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同样的条件下对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，记录如下（其中频率结果保留小数点后三位） 移植总数（n） 成活
数（m）
10 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000
8 47 235 369 662 1335 3203 6335 8118
成活的频率
0.800 0.940 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.902
由此可以估计幼树移植成活的概率为 ．
13．方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》中“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛…”译文：（古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，“已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，…”1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，则一个大桶和一个小桶一共可以盛酒 斛．
14．五一期间，某商厦为了促销，将一款每台标价为1635元的空调按标价的八折销售，结果仍能盈利9%，则是这款空调机每台的进价为 元．
15．图1是由一些偶数排成的数阵，按照图1所示方式圈出9个数，这样的9个数之间具有一定的关系，按照同样的方式，如果圈出的9个数和324（如图2），则最
中间的数a的值是 ．
16．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，E为BA延长线上的一点，AE=AB，D为BC的中点，则DE的长为 ．
三、解答题（共8小题，满分72分） 17．（1）计算：（x+4）+（x+3）（x﹣3） （2）解不等式组
，并把解集在数轴上表示出来．
2
18．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6．
（1）实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ABC的角平分线交AC于点D．
②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF． （2）推理计算：四边形BFDE的面积为 ．
19．为了加快我省城乡公路建设，我省计划“十三五”期间高速公路运营里程达1000公里，进一步打造城乡快速连接通道，某地计划修建一条高速公路，需在小山东西两侧A，B之间开通一条隧道，工程技术人员乘坐热气球对小山两侧A、B之间的距离进行了测量，他们从A处乘坐热气球出发，由于受西风的影响，热气球以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为多少米？
20．某校为了增强学生体质，推动“阳光体育”运动的广泛开展，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，学校体育部从八年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中m的值为 ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是 ，中位数是 ；
（3）该校计划购买200双运动鞋，校体育部对各种鞋号运动鞋的购买数量做出如下估计：
根据样本数据分析得知：各种鞋号的运动鞋购买数量如下：
35号：200×30%=60（只） 36号：200×25%=50（只）
…
请你分析：校体育部的估计是否合理？如果合理，请将体育部的估算过程补充完整，若不合理，请说明理由，并且给学校提一个合理化的建议． 21．数学活动：拼图中的数学 数学活动课上，老师提出如下问题：
用5个边长为1的小正方形组合一个图形（相互之间不能重叠），然后将组合后的图形剪拼成一个大的正方形．
合作交流：“实践”小组：我们组合成的图形如图（1）所示，剪拼成大的正形的过程如图（2），图（3）所示．“兴趣”小组：我们组合成的图形如图（4）所示，但我们未能将其剪拼成大的正方形．
任务：请你帮助“兴趣”小组的同学，在图（4）中画出剪拼线，在图（5）中画出剪拼后的正方形．要求：剪拼线用虚线表示，剪拼后的大正方形用实线表示．
应用迁移：如图（6），∠A=∠B=∠C=∠D=∠F=90°，AB=AF=2，EF=ED=1．
请你将该图进行分割，使得分割后的各部分恰好能拼成一个正方形，请你在图（5）中画出拼图示意图（拼图的各部分不能互相重叠，不能留有空隙，不要求进行说理或证明）
22．随着科技与经济的发展，中国廉价劳动力的优势开始逐渐消失，而作为新兴领域的机器人产业则迅速崛起，机器人自动化线的市场也越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式，某化工厂要在规定时间内搬运1200千元化工原料．现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用的时间与B型机器人搬运600千克所用的时间相等． （1）两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（2）该工厂原计划同时使用这两种机器人搬运，工作一段时间后，A型机器人又有了新的搬运任务，但必须保证这批化工原料在11小时内全部搬运完毕．求：A型机器人至少工作几个小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成．
23．综合与实践： 折纸中的数学 动手操作：
如图，将矩形ABCD折叠，点B落在AD边上的点B′处，折痕为GH，再将矩形ABCD折叠，点D落在B′H的延长线上，对应点为D′，折痕为B′E，延长GH于点F，O为GE的中点． 数学思考：
（1）猜想：线段OB′与OD′的数量关系是 （不要求说理或证明）． （2）求证：四边形GFEB′为平行四边形； 拓展探究：
如图2，将矩形ABCD折叠，点B对应点B′，点D对应点为D′，折痕分别为GH、EF，∠BHG=∠DEF，延长FD′交B′H于点P，O为GF的中点，试猜想B′O与OP的数量关系，并说明理由．
24．综合与探究：如图，已知抛物线y=﹣x+2x+3的图象与x轴交于点A，B（A在B的右侧），与y轴交于点C，对称轴与抛物线交于点D，与x轴交于点E． （1）求点A，B，C，D的坐标；
2
（2）求出△ACD的外心坐标；
（3）将△BCE沿x轴的正方向每秒向右平移1个单位，当点E移动到点A时停止运动，若△BCE与△ADE重合部分的面积为S，运动时间为t（s），请直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（﹣2）×3的结果是（ ） A．6
B．﹣6 C．1
D．﹣5
【考点】有理数的乘法．
【分析】原式利用异号两数相乘的方法计算即可得到结果． 【解答】解：原式=﹣6， 故选B
2．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠COB内一点，且OE⊥AB，∠AOC=35°，则∠EOD的度数是（ ）
A．155° B．145° C．135° D．125° 【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【分析】由对顶角相等可求得∠BOD，根据垂直可求得∠EOB，再利用角的和差可求得答案． 【解答】解： ∵∠AOC=35°， ∴∠BOD=35°， ∵EO⊥AB， ∴∠EOB=90°，
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90°+35°=125°， 故选D．
3．下列计算正确的是（ ） A．（﹣2）=8 B．
3
=±2 C． =﹣2 D．|﹣2|=﹣2
【考点】立方根；有理数的乘方；算术平方根． 【分析】根据立方根，即可解答． 【解答】解：A、（﹣2）=﹣8，故错误； B、C、
=2，故错误； =﹣2，正确；
3
D、|﹣2|=2，故错误； 故选：C．
4．如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示﹣
的点最接近的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D 【考点】实数大小比较；实数与数轴． 【分析】先估算出2.5＜
＜3，可得﹣3＜﹣
＜﹣2.5，根据点A、B、C、D表示
的数分别为﹣4、﹣3、﹣2、2，即可解答． 【解答】解：∵2.5＜∴﹣3＜﹣
＜﹣2.5，
＜3，
∵点A、B、C、D表示的数分别为﹣4、﹣3、﹣2、2， ∴与数﹣故选：B．
表示的点最接近的是点B．
5．我们在探究“任意一个四边形内角和是多少度？”时，采用的方法是连接四边形的一条对角线，把四边形分割成两个三角形，从而探究出任意四边形的内角和等于360°，这一过程体现的数学思想是（ ） A．转化思想
B．方程思想
C．函数思想
D．数形结合思想
【考点】多边形内角与外角．
【分析】由于在探究“任意一个四边形内角和是多少度？”时，采用的方法是连接四边形的一条对角线，把四边形分割成两个三角形，从而根据三角形的内角和为180°探究出任意四边形的内角和等于360°，所以这一过程体现的数学思想是转化思想． 【解答】解：我们在探究“任意一个四边形内角和是多少度？”时，采用的方法是连接四边形的一条对角线，把四边形分割成两个三角形，从而探究出任意四边形的内角和等于360°，这一过程体现的数学思想是转化思想． 故选A．
6．在反比例函数y=
的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当0＜x1＜x2时，
有y1＞y2，则k的取值范围是（ ） A．k
B．k
C．k
D．k
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【解答】解：∵当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，
∴该反比例函数在x＞0时，y值随x的增大而减小， ∴1﹣3k＞0， 解得：k＜． 故选B．
7．如图，正方形ABCD是一块绿化带，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，阴影部分EOCF，AOGH都是花圃，一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D． 【考点】几何概率．
【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得小鸟在花圃上的概率． 【解答】解：∵正方形ABCD是一块绿化带，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴S四边形AHGO+S四边形OEFC=S正方形ABCD，
∴一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为， 故选A．
8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P为
上一点，则tan∠APC的值为（ ）
A． B． C． D．1
【考点】正多边形和圆；锐角三角函数的定义．
【分析】由正六边形的性质得出∠AOC=120°，由圆周角定理求出∠APC=60°，即可得
出结果．
【解答】解：连接OA、OB、OC，如图所示： ∵∠AOB=∠BOC=∴∠AOC=120°， ∴∠APC=∠AOC=60°， ∴tan∠APC=故选：A．
；
=60°，
9．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，
以原点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（1，） B．（2，6） C．（2，6）或（﹣2，﹣6） D．（1，）或（﹣1，﹣）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，
那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，把C点的横纵坐标都乘以或﹣即可得到点C′的坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小， ∴点C的对应点C′的坐标（1，）或（﹣1，﹣）． 故选D．
10．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t﹣5t，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是（ ） A．6s B．4s C．3s D．2s 【考点】二次函数的应用．
【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t﹣5t即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间． 【解答】解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0， 把h=0代入h=30t﹣5t得：5t﹣30t=0， 解得：t1=0（舍去），t2=6．
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s． 故选A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．计算
= 2
．
2
2
2
2
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先把各根式化为最减二次根式，再合并同类项即可． 【解答】解：原式=3
﹣
=2
．
故答案为：2
．
12．某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同样的条件下对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，记录如下（其中频率结果保留小数点后三位） 移植总数（n） 成活
数（m）
10 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000
8 47 235 369 662 1335 3203 6335 8118
成活的频率
0.800 0.940 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.902
由此可以估计幼树移植成活的概率为 0.892 ． 【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布表．
【分析】对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．
【解答】解： =（0.800+0.940+0.870+0.923+0.883+0.890+0.915+0.905+0.902）÷9=0.892，
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.892． 故本题答案为：0.892．
13．方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》中“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛…”译文：（古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，“已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，…”1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，则一个大桶和一个小桶一共可以盛酒
斛．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y值，将其相加即可得出结论． 【解答】解：设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛， 根据题意得：
，
解得：．
∴x+y=+=．
故答案为：．
14．五一期间，某商厦为了促销，将一款每台标价为1635元的空调按标价的八折销售，结果仍能盈利9%，则是这款空调机每台的进价为 1200 元． 【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设这款空调机每台的进价为x元，根据：售价﹣进价=利润，列出方程求解可得．
【解答】解：设这款空调机每台的进价为x元，根据题意， 得：1635×0.8﹣x=9%x， 解得：x=1200，
∴这款空调机每台的进价为1200元， 故答案为：1200．
15．图1是由一些偶数排成的数阵，按照图1所示方式圈出9个数，这样的9个数之间具有一定的关系，按照同样的方式，如果圈出的9个数和324（如图2），则最
中间的数a的值是 36 ．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】可设中间的数为a，根据规律得出这9个数的和的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设中间的数为a，可得：a+a+2+a﹣2+a﹣8+a﹣8+2+a﹣8﹣2+a+8+2+a+8﹣2+a+8=324， 解得：a=36， 故答案为：36．
16．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，E为BA延长线上的一点，AE=AB，D为BC的中点，则DE的长为
．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】根据题意结合等腰三角形的性质得出AD⊥BC，BD=DC=3，再利用相似三角
形的判定与性质得出EN，BN的长，即可得出答案． 【解答】解：连接AD，过点E作EN⊥BC于点N， ∵AB=AC=5，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=DC=3， ∵AB=AC=5， ∴AD=4， ∵EN⊥BC， ∴AD∥EN， ∴△ABD∽△EBN， ∴∴
====， ，
解得：BN=4.5，EN=6， ∴DN=1.5， ∴DE=故答案为：
=．
=
．
三、解答题（共8小题，满分72分） 17．（1）计算：（x+4）+（x+3）（x﹣3） （2）解不等式组
，并把解集在数轴上表示出来．
2
【考点】平方差公式；完全平方公式；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不
等式组．
【分析】（1）首先根据完全平方公和平方差公式计算，再合并同类项即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集，再在数轴上表示即可．
【解答】（1）解：（x+4）+（x+3）（x﹣3） =x+8x+16+x﹣9 =2x+8x+7； （2）解：由①得：x≤1， 由②得：x＜4，
∴不等式组的解集为x≤1； 在数轴上表示为
18．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6． （1）实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ABC的角平分线交AC于点D．
②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF． （2）推理计算：四边形BFDE的面积为 8
．
22
2
2
，
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形． 【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角和作已知线段的垂直平分线）作出BD和EF；
（2）先证明四边形BEDF为菱形，再利用含30度的直角三角形三边的关系求出BF和CD，然后利用菱形的面积公式求解． 【解答】解：（1）如图，DE、DF为所作；
（2）∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°，AB=2BC=12， ∵BD为∠ABC的角平分线， ∴∠DBC=∠EBD=30°， ∵EF垂直平分BD， ∴FB=FD，EB=ED，
∴∠FDB=∠DBC=30°，∠EDB=∠EBD=30°， ∴DE∥BF，BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形， 而FB=FD，
∴四边形BEDF为菱形， 在Rt△ADE中，DE=AE， 而AE=AB﹣BE，
∴12﹣BE=BE，解得BE=8， 在Rt△BDC中，CD=
BC=2
， =8
．
∴四边形BFDE的面积=×8×2
故答案为8
．
19．为了加快我省城乡公路建设，我省计划“十三五”期间高速公路运营里程达1000公里，进一步打造城乡快速连接通道，某地计划修建一条高速公路，需在小山东西两侧A，B之间开通一条隧道，工程技术人员乘坐热气球对小山两侧A、B之间的距离进行了测量，他们从A处乘坐热气球出发，由于受西风的影响，热气球以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为多少米？
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】过A作AD⊥BC交BC于点D，首先利用速度和时间求得AC的长，然后利用锐角三角函数求得AD的长，从而利用AB=2AD求得AB的长． 【解答】解：过A作AD⊥BC交BC于点D，
由题意AC=30×25=750，∠B=30°，∠BCA=75°﹣∠B=75°﹣30°=45°， 在Rt△CDA中，sin∠BCA=所以AD=AC×sin∠BCA=750×
， =375
，
米，
在Rt△BDA中，∠B=30°，AB=2AD=750所以AB两地之间的距离为750
米．
20．某校为了增强学生体质，推动“阳光体育”运动的广泛开展，学校准备购买一批
运动鞋供学生借用，学校体育部从八年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中m的值为 15 ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是 35 ，中位数是 36 ；
（3）该校计划购买200双运动鞋，校体育部对各种鞋号运动鞋的购买数量做出如下估计：
根据样本数据分析得知：各种鞋号的运动鞋购买数量如下：
35号：200×30%=60（只） 36号：200×25%=50（只）
…
请你分析：校体育部的估计是否合理？如果合理，请将体育部的估算过程补充完整，若不合理，请说明理由，并且给学校提一个合理化的建议．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数． 【分析】（1）由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；
（2）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
（3）根据抽样调查的数据要有代表性即可判断．
【解答】解：（1）m%=1﹣30%﹣25%﹣20%﹣10%=15%， 故答案为：15；
（2）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多， ∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36， ∴中位数为
=36
故答案为：35，36；
（3）不合理，
因为学校是在八年级学生中随机抽取样本，所以样本数据仅能代表八年级学生，对于全校学生来说，各个年级学生身体的发展情况有较大差异，所以对于全体学生来说不具有代表性．
建议：建议学校在三个年级中随机抽取样本进行估计，这样估计的结果会具有较好的代表性．
21．数学活动：拼图中的数学 数学活动课上，老师提出如下问题：
用5个边长为1的小正方形组合一个图形（相互之间不能重叠），然后将组合后的图形剪拼成一个大的正方形．
合作交流：“实践”小组：我们组合成的图形如图（1）所示，剪拼成大的正形的过程如图（2），图（3）所示．“兴趣”小组：我们组合成的图形如图（4）所示，但我们未能将其剪拼成大的正方形．
任务：请你帮助“兴趣”小组的同学，在图（4）中画出剪拼线，在图（5）中画出剪拼后的正方形．要求：剪拼线用虚线表示，剪拼后的大正方形用实线表示．
应用迁移：如图（6），∠A=∠B=∠C=∠D=∠F=90°，AB=AF=2，EF=ED=1．
请你将该图进行分割，使得分割后的各部分恰好能拼成一个正方形，请你在图（5）中画出拼图示意图（拼图的各部分不能互相重叠，不能留有空隙，不要求进行说理或证明）
【考点】图形的剪拼．
【分析】任务：先求出大正方形的边长为
，由此即可设计图形．
应用迁移：先确定大正方形的边长，在考虑然后拼剪．
【解答】解：任务：剪拼成大的正形的过程如图（4），图（5）所示，
应用迁移：拼图示意图如图所示，答案不唯一．
．
22．随着科技与经济的发展，中国廉价劳动力的优势开始逐渐消失，而作为新兴领域的机器人产业则迅速崛起，机器人自动化线的市场也越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式，某化工厂要在规定时间内搬运1200千元化工原料．现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用的时间与B型机器人搬运600千克所用的时间相等． （1）两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（2）该工厂原计划同时使用这两种机器人搬运，工作一段时间后，A型机器人又有了新的搬运任务，但必须保证这批化工原料在11小时内全部搬运完毕．求：A型机器人至少工作几个小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料，根据A型机器人搬运900千克所用的时间与B型机器人搬运600千克所用的时间相等建立方程求出其解就可以得出结论．
（2）设A型机器人工作t小时，根据这批化工原料在11小时内全部搬运完毕列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料， 根据题意，得
=
，
解得x=60．
经检验，x=60是所列方程的解． 当x=60时，x+60=90．
答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运90千克化工原料；
（2）设A型机器人工作t小时， 根据题意，得1200﹣90t≤60×11， 解得t≥6．
答：A型机器人至少工作6小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成．
23．综合与实践： 折纸中的数学 动手操作：
如图，将矩形ABCD折叠，点B落在AD边上的点B′处，折痕为GH，再将矩形ABCD折叠，点D落在B′H的延长线上，对应点为D′，折痕为B′E，延长GH于点F，O为
GE的中点． 数学思考：
（1）猜想：线段OB′与OD′的数量关系是 OB′=OD′ （不要求说理或证明）． （2）求证：四边形GFEB′为平行四边形； 拓展探究：
如图2，将矩形ABCD折叠，点B对应点B′，点D对应点为D′，折痕分别为GH、EF，∠BHG=∠DEF，延长FD′交B′H于点P，O为GF的中点，试猜想B′O与OP的数量关系，并说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）作辅助线构建平行四边形和直角三角形，先证明平行四边形，再利用直角三角形斜边中线得OB′=OD′；
（2）利用折叠的性质得∠GHB′=∠EB′H，得GF∥B′E，再利用折叠和矩形的直角得∠GB′H=∠B′D′E=90°，得GB′∥EF，则四边形GFEB′为平行四边形；
（3）作辅助线构建平行，证角相等得△GB′O≌△FNO，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结论
【解答】解：（1）如图1，OB′=OD′，理由是： 连接OF，
由折叠得：∠GB′H=∠B=90°，∠B′D′E=∠D=90°， ∴∠GB′H=∠B′D′E， ∴GB′∥EF， 同理得B′E∥GF，
∴四边形GFEB′是平行四边形， ∴OB′=OF， 则B′、O、F共线，
在Rt△B′D′F中，OD′=B′F=OB′， 即OB′=OD′；
（2）如图1，由折叠得：∠GHB=∠GHB′=∠B′HB， ∠DB′E=∠D′B′E=∠D′B′D， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠B′HB=′DB′D′， ∴∠GHB′=∠EB′H， ∴GF∥B′E，
∵∠GB′H=∠B=90°，∠B′D′E=∠D=90°， ∴∠GB′H=∠B′D′E， ∴GB′∥EF，
∴四边形GB′EF为平行四边形； 拓展探究：
如图2，OB′=OP，理由是：
延长HB′交AD于M，延长B′O交D′P于点N， ∠B′HB=2∠GHB，∠DED′=2∠DEF，∠GHB=∠DEF， ∴∠B′HB=∠DED′，
∵AD∥BC，∠DMH=∠B′HB， ∴∠DED′=∠DMH， ∴ED′∥MH，
∴∠B′PN=∠ED′F=90°， ∴∠GB′P=∠B′PN， ∴GB′∥PD′， ∴∠B′GO=∠NFO，
∵∠GOB′=∠FON，GO=OF， ∴△GB′O≌△FNO， ∴B′O=NO， ∴B′O=OP．
24．综合与探究：如图，已知抛物线y=﹣x+2x+3的图象与x轴交于点A，B（A在B的右侧），与y轴交于点C，对称轴与抛物线交于点D，与x轴交于点E． （1）求点A，B，C，D的坐标； （2）求出△ACD的外心坐标；
（3）将△BCE沿x轴的正方向每秒向右平移1个单位，当点E移动到点A时停止运动，若△BCE与△ADE重合部分的面积为S，运动时间为t（s），请直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
2
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用函数关系式分别让x=0及y=0可求出点A、B及点C坐标，通过配方法求得点D坐标；
（2）作DF⊥y轴，连接DC、AC，利用特殊角证出△ACD为直角三角形，则通过相似三角形对应边的比可得出外心的坐标；
（3）根据运动时间t，分成0＜t≤1、1＜t≤、＜t≤2三种情况进行讨论，利用直线解析式求出交点坐标，从而将面积分别表示出来． 【解答】解：（1）当y=0时，﹣x+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3 ∴点A坐标为（3，0），点B坐标为（﹣1，0）， 当x=0时，代入﹣x+2x+3=0，y=3， ∴C点坐标为（0，3）
∵y=﹣x+2x+3=﹣（x﹣1）+4， ∴D点的坐标为（1，4）
（2）过点D作DF⊥y轴，垂足为F，连接AC、CD，如图1
2
2
2
2
∵A（3，0），C（0，3），D（1，4） ∴DF=CF=1，OC=AC=3，
∴△DFC，△AOC均为等腰直角三角形；
∴∠DCF=∠ACO=45°，∴∠ACD=90°，△ACD为直角三角形； ∴斜边AD上中点为△ACD的重心，设点P为AD的中点， 过点P作PG⊥OA，垂足为G， ∵△APG∽△ADE， ∴点G为EA的中点， ∴OG=2，PG=2， ∴点P坐标为（2，2）；
（3）如图2，当0＜t≤1时，EE′=t
设E′C′与DE交于点Q，根据△QEE′～△COB，求得QE=3t， ∴S=QE?EE′=×t×3t=t；
2
如图3，当1＜t≤时，设当B′C′与DE交于点H，
根据△B′HE～△BOC，求得EH=3（2﹣t）， ∵S=S△C′B′E′﹣S△HB′E， ∴S=×2×3﹣×3（2﹣t） 即S=﹣t+6t﹣3； 如图4，当＜t≤2时，
2
2
设直线B′C′与直线DE交点为T，与直线AD的交点为K，直线AD与直线E′C′的交点为L，
∵B′（t﹣1，0），C′（t，3），E′（t+1，0）， ∴直线B′C′的解析式为：y=3x+（3﹣3t）， 直线E′C′的解析式为：y=﹣3x+（3+3t）， ∵直线AD的解析式为y=2x+6， ∵解方程组
解得
∴K（解方程组解得
，）
∴L（3t﹣3，﹣6t+12）， 又∵T（1，6﹣3t），
∴DT=4﹣（6﹣3t）=3t﹣2，AE′=3﹣（t+1）=2﹣t，△DKT以DT为底边上的高为：﹣1=
，
﹣（2﹣t）?（﹣6t+12），
S=S△EAD﹣S△DKT﹣S△E′AL=4﹣（3t﹣2）?即S=﹣
t+
2
﹣；
∴当0＜t≤1时，S=t 当1＜t≤时，S=﹣t+6t﹣3 当＜t≤2时，S=﹣
t+
22
2
﹣
2020-2021学年山西省吕梁市中考数学第三次模拟试卷及答案解析
