（3）对于任意x1，x2??0,1?且x1?x2，求证：f(x2)?f(x1)?1.
数学（理科）答案及评分标准
一、ACDCB CBACC DD 二、（13）?
1010
；（14）2（15）1：10；（16）①②⑤. 2；
三、解答题：其它解法仿此给分. （17）解：∵q=1时S2n?2na1，S偶数项?na1
又
a1?0显然
2na1?11na1q≠
1 ………………………………………………2分
∴
S2na1(1?q2n)a1q(1?q2n)??S偶数项?……………………………………41?q1?q2分
a1(1?q2n)a1q(1?q2n)?11?依题意 1?q1?q2解
q?之
1……………………………………………………………………610分
又
a3?a4?a1q2(1?q),a2a4?a12q4，………………………………………8
分
依题意
a1q2(1?q)?11a12q4，将
q?110代入得
a1?10 …………………10
分
1an?10?()n?1?102?n……………………………………………
10…………12分 （
18
）
解
：
由
题
设
知
tga?ab?,tg??且0?????…………………………………4xx2分
∴
tg(???)?tg??tg?b?a?1?tg?tg?x?abx …………………………………………6分
x?0,abab?0且x??abxx∵
为定
值…………………………………………9分
所以，当且仅当x?ab即
x2ab………11
x?ab时，x?ab取得最小值
x分
时
tg(???)此
b?a
2ab
取最大值
……………………………………………12分
（19）解：（Ⅰ）证明；已知A1E?B1B于E,A1F?C1C于 F， ∵
B1B∥
C1C，分
∴
B1B?A1F ……………………………………………1
又A1E?所
A1F?A.∴B1B?平面A1EF
以，平分
面
A1EF?平面B1BCC1…………………………………………3
（Ⅱ）因为?A1B1B??A1AB?A1AC??A1C1C?45?,A1B1?A1C1， 又?A1EB1??A1FC1?90?.A1B1?2 ∴Rt?A1B1E≌Rt?A1C1F，∴A1E?A1F?∴B1EC1F，∴EF=B1C1?2
2 ∴A1E2?A1F2?EF2
∴?A1EF为等腰直角三角形……5分 取EF的中点N，连A1N，则A1N?EF，
所以
A1N?平面B1BCC1 …………………………………………………………
……6分
所以A1N为点A1到平面B1BCC1的距离。 又A1N?1EF?1
2所以点A1到平面B1BCC1的距离为
1. ………………………………………………8分
（Ⅲ）设BC，B1C1的中点分别为D，D1连AD，DD1和A1D1，则N∈DD1 ∵DD1∥BB1∥AA1，∴A，A1，D，D1四点共面，∴AD∥A1D1 ∴A1ADD1为平行四边
形， ……………………………………………………………9分 ∵B1C1?A1D1,A1N?平面BCC1B1 ∴B1C1?D1D,又B1C1?A1N ∴B1C1?平面ADD1A1 ∴BC?平面ADD1A1 ∴
平面A1ADD1?平面ABC ……………………………………………………
……10分
作A1M?平面ABC于M,则点M在AD上，
若A1M?A1N,又?A1AD??A1D1D,?A1MA??A1ND1?90?， 则Rt?A1MA≌Rt?A1ND1 于是
A1A?A1D1?3 …………………………………………………………
………12分 即当A1A?3时，点A1到平面
ABC和平面B1BCC1的距离相
等.……………………13分
（20）解：（Ⅰ）若以1997年为第一年，则第n年该乡从这两家企业获得的利润为
32yn?320?()n?1?720?()n?1,(n?1) …………………………………………
23………2分
=80[4?(3)n?1?9?(2)n?1]?2?80?23324?()n?1?9?()n?123
=2?80?6?960………………………………………………………………………5分
当且仅当4?(3)n?1?9?(2)n?1，即n=2时，等号成立，
23所以第二年（1998年）上交利润最少，利润为960万元。…………………………7分
由2000–960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题。 ……8分
（Ⅱ）2005年为第9年，该年可从两个企业获得利润
32y9?320?()8?720?()8 ……………………………………………………
23………10分
所以该乡到2005年底可以达到小康水
平. …………………………………………12分
x2y2（21）解：2?2?1,(a?b?0)
ab当PQ⊥x轴时，F（–c , 0），
b2|FP|?,又|FQ|?|FP|且OP?OQ, ∴|OF|=|FP|
ab2即c?a∴ac?a2?c2
∴e2?e?1?0∴
e?5?1 …………………………………………………………22分
当PQ不垂直xx2y2轴时，设PQ:y?k(x?c)代入2?2?1,(a?b?0)
ab得(b2?k2a2)x2?2k2a2cx?k2a2c2?a2b2?0 ……………………………………4分
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，∵OP?OQ，∴x1x2?y1y2?0， 即
x1x2?k2(x1?c)(x2?c)?0 ……………………………………………………
…6分
亦即(k2?1)x1x2?k2c(x1?x2)?k2c2?0
k2a2c2?a2b2?2k2a2c2∴(k?1)?222?kc?222?k2c2?0 ……………………………7
b?kab?ka2分 解得
a2b2k?22??① ……………………………………………8
ac?b2c2?a2b22分
∵k2?0，∴a2b2?b2c2?a2b2?0， 又b2?a2?c2，得e4?3e2?1?0 解得
5?1?e?1. ………………………………………………………………2
北京市西城区第一次模拟试题数学试卷理科
