山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编 专题11 轴对称
山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编 专题11 轴对称
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山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编 专题11 轴对称
专题11 轴对称
破题策略
成轴对称的两个图形全等；如果两个图形关于某条直线对称，那么对成轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．通常所说的翻折实质上就是轴对称变换．图形沿着某条直线翻折,这条直线即为对称轴，利用轴对称的性质，再借助方程的知识就能很快解决问题． 例题讲解
例1 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为点E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）如图1，若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数； （2）如图2,若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示
AE、FE、FD之间的数量关系，并证明；
解 （1)如图3，连接AE，则∠PAE＝∠PAB＝20°，AE＝AB．
?四边形ABCD为正方形 ?∠BAD＝90°，AB＝AD ?∠EDA＝130° ?∠ADF＝25°
(2）如图4,连接AE，BF，BD,由轴对称知EF＝BF，AE＝AB＝AD
?∠ABF＝∠AEF＝∠ADF， ?∠BFD＝∠BAD＝90° ?BF＋FD＝BD ?EF＋FD＝2AB
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例 2 菱形纸片ABCD的边长为2,折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的?
小明发现：若∠ABC＝60°，
①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为_________；
②如图2,当重合点在对角线BD上移动时,六边形AEFCHG的周长_________（填“改变”或“不变”）．
请帮助小明解决下面问题：
如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m． （1）如图3,若∠ABC＝120°,则六边形AEFCHG的周长为_________;
（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，则六边形AEFCHG的周长可表示为________．
答案：(1）①6；②不变；(2）4?23；4＋4sinα．
（1）如图1，因为EF＝AB＝FC＝CH＝AG＝GH＝1，所以周长为6．
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如图2，因为△EBF、△GHD为等边三角形，所以EF＝BE,GH＝GD
因为四边形FCDG、AEHD为平行四边形,所以FC＝GD＝DH＝AE，同理可得CH＝BE＝AG 所以周长不变
（2）当∠ABC＝120°时，EP＝3BE，GH＝3GD．
因为AE＝DH＝DG＝FC，AG＝BF＝BE＝CH
所以六边形AEFCHG的周长为AB＋AD＋3BE＋3GD＝4＋23． 当∠ABC＝2α时，EF＝2BE?sinα,，GH＝2DGE?sinα 所以六边形AEFCHG的周长为4＋4sinα
例3 有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交
BC于P,△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中，若AB＝a，BC＝b，a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP?
(3）设矩形ABCD的边AB＝2,BC＝4,并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM′为y＝kx，当∠M′BC＝60°时，求k的值，此时，将△ABM′沿BM′折叠,点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点），为什么？ 解：（1）△BMP是等边三角形 连接AN
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∵EF垂直平分AB, ∴AN＝BN
由折叠知AB＝BN， ∴AN＝AB＝BN,
∴△ABN为等边三角形， ∴∠ABN＝60° ∴∠PBN＝30°
又∵∠ABM＝∠NBM＝30°，∠BNM＝∠A＝90°， ∴∠BPN＝60°，∠MBP＝∠MBN＋∠PBN＝60° ∴∠BMP＝60°，
∴∠MBP＝∠BMP＝∠BPM＝60° ∴△BMP为等边三角形．
（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP
在Rt△BNP中，BN＝BA＝a，∠PBN＝30° ∴
∴
∴a?32b 所以当a?32b时,在矩形上能剪出这样的等边△BMP．tan （3）（3））∵∠M′BC＝60°,
∴∠ABM′＝90°－60°＝30°
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AM?在Rt△ABM′中，tan?ABM??
AB∴∴∴M’（
232，2）,代入y＝kx中，得k??3 3233设△ABM′沿BM′折叠后,点A落在矩形ABCD内的点为A′，过A′作A′H⊥BC交BC于H ∵△A′BM′≌△ABM′,
∴∠A'BM'＝∠ABM'＝30°，A′B＝AB＝2 ∴∠A'BH＝∠M'BH－∠A'BM’＝30° 在Rt△A′BH中,A′H＝AB＝1，BH＝3 ∴
12∴A′落在EF上．
进阶训练
1．已知：在菱形ABCD中,∠ADC＝120°，E是对角线AC上一点，连结DE，∠DEC ＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF,交ED的廷长线于点G．求证：EG＝BC．
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2．如图，有一矩形纸片ABCD,AB＝8，AD＝17,将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC上的A '处，折痕所在直线同时经过边AB，AD(包括端点)，设BA ’＝x,则x的取值范围是______．
3．如图，将正方形ABCD翻折，使点B落在CD边上点E处（不与C，D重合），压平 后得到折痕MN．设
CECD?1n，则AMBN?___________(用含n的式子表示）
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中考数学压轴题专项汇编专题11轴对称(2024年整理)
