★模型一 等腰三垂直全等模型
（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
DE AAA
E D BBBCCCE
(1)(2)(3)
例1．如图：RtΔABC中，∠BAC=90o，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD
于点E，过C作CF⊥AD于点F。 （1）求证：BE-CF=EF；
（2）若D在BC的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新
的结论并证明。 EAA EF
BCBDC D(2)(1)F
2. 如图1，等腰Rt△ABC中，AB=CB，∠ABC=90o，点P在线段BC上（不与B、C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E，连CQ交AB于M。 （1）求证：M为BE的中点
（2）若PC=2PB，求
PC的值 MB
（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
F ADA
FE
D
BBC C (1)(2)E
1
3、如图：RtΔABC中，∠BAC=90o，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，交AC于点G，过C作CF⊥AC交AD的延长线与于点F。 （1）求证：BG=AF；
（2）若D在BC的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。 GEAA
G
EF
BCBDD C(2)(1)
F
变式1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45o，∠BAC=90o，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD
于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.
变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。
变式3：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F连接DF，求证：∠1=∠2。
2
★模型二 等腰直角对直角全等模型
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形 EAA
D
E F
BCBCFD(2)(1)例1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：∠ADB＝45°。
变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，点D为BE延长线上
一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。
变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE
于D，DM⊥AB交BA的延长线于点M，
BMAM（1）求AB?BC的值；（2）求BC?AB的值。
3
课后练习：
1．已知：Rt⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若O是BC的中点，以O为顶点作∠MON，交AB、AC于点M、N。 （1）若∠MON=90°（如图1），求证：①OM=ON； A
M
BO
图1（2）若∠MON=45°（如图2），求证：①AM+MN=CN；
AN
M
BO
图2
NCC
2、如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）。
（1）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；
（2）过A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。
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AM?FM?1是
OF3、在△ABC和△DCE中，AB=AC，DC=DE,∠BAC=∠EDC=90°，点E在AB上，连AD，DF⊥AC于点F。试探索AE、AF、AC的数量关系；并求出∠DAC的度数。 AD
FE
B C(2)
4、如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。点N为OA上一点，OM⊥BN于M，且∠ONB=45°+∠MON。 （1）求证：BN平分∠OBA； （2）求
OM?MN的值；
BN
（3）若点P为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。
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[干货]八年级上学期全等模型之--等腰三垂直模型、等腰直角对直角模型
