3．设f(x,y)是有界闭区域D：x2?y2?a2上的连续函数，则
lim1a?0?a2??f(x,y)dxdy的值为多少？
D【数学思想方法】
二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。
9.2 在直角坐标系中二重积分的计算
【学习方法导引】
本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定X型区域还是Y型区域，这也是本章的难点。
直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：
(1)在定积分计算中，如果D的形状不能简单地用类似
??1(x)?y??2(x)??1(y)?x??2(y)或?的形式来表示，则我们可以将D??a?x?b?c?y?d分成若干块，并由积分性质
??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?.DD1D2
对右端各式进行计算。
(2)交换积分次序不仅要考虑到区域D的形状，还要考虑被积函数 的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对x6 / 11
积分，再对y积分，还是先对y积分，再对x积分最终计算的结果应该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域D，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：①确定D的边界曲线，画出D的草图；
②求出D边界曲线的交点坐标；
③将D的边界曲线表示为x或y的单值函数； ④考虑是否要将D分成几块； ⑤用x,y的不等式表示D.
注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ)保证各层积分的原函数能够求出；(ⅱ)若D为X型(Y型),先对x(y)积分；(ⅲ)若D既为X型又为Y型，且满足(ⅰ)时，要使对D的分块最少。
(3) 利用对称性等公式简化计算 设f(x,y)在区域D上连续，则 ①当区域D关于x轴对称
若f(x,?y)??f(x,y)，则??f(x,y)d?＝0；
D若f(x,?y)?f(x,y)，则??f(x,y)d?＝2??f(x,y)d?，其中D1为D在
DD1x轴上方部分。
②当区域D关于y轴对称
若f(?x,y)??f(x,y)，则??f(x,y)d?＝0；
D若f(?x,y)?f(x,y)，则??f(x,y)d?＝2??f(x,y)d?，其中D2为D在
DD2y轴右侧部分。
③当区域D关于x轴和y轴都对称
7 / 11
若f(?x,y)??f(x,y)或f(x,?y)??f(x,y)，则??f(x,y)d?＝0；
D若f(x,?y)?f(?x,y)?f(x,y)，则??f(x,y)d?＝4??f(x,y)d?，其中D1为
DD1D在第一象限部分。
④轮换对称式
设D关于直线y?x对称，则??f(x,y)d?＝??f(y,x)d?.
DD【基本问题导引】
一．判断题
1．??xydxdy=4??xydxdy,D:x2?y2?4;D1:x2?y2?4,x?0,y?0 ( )
DD12. 若f为连续函数，则
?10dx?x20f(x,y)dy??dx?122?x0f(x,y)dy??dy?01y2?yf(x,y)dx ( )
【主要概念梳理】
直角坐标系中二重积分计算
y当被积函数f(x,y)?0且在D上连续时,
aDbx??1(x)?y??2(x)若D为 X - 型区域 D:?
a?x?b?oy??1(x)则
??Df(x,y)dxdy??dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy
??(y)?x??2(y)若D为Y –型区域D:?1,
c?y?d?y x ? ? ( y ) 2 d 则??Df(x,y)dxdy??cdy??d?2(y)1(y)f(x,y)dx
( y x ? ?1) c o x 说明:若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 则有 ??Df(x,y)dxdy??dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy??dy?cyxd?2(y)?1(y)f(x,y)dx【巩固拓展提高】
1.(1992)计算I??dy?1edx??1dy?yedx.
221214y1yyx8 / 11
2.设f(x)??1edy，计算?0f(x)dx.
xxy19.3 在极坐标系中二重积分的计算
【学习方法导引】
极坐标系中二重积分计算的基本技巧：
(1)一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函
数为f(x2?y2),
yxf(),f()等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算。 xy【基本问题导引】
1.若二重积分的积分区域D是1?x2?y2?4,则??dxdy＝ 。
D2．设D:x2?y2?a2,x?0,(a?0).将二重积分I???Df(x,y)d?化为极坐标形式的二次积分，则I? . 3．设D:a2?x2?y2?b2,0?a?b.将二重积分I???Df(x,y)d?化为极坐标形式的二次积分，则I? .
【主要概念梳理】
利用极坐标系计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆r=常数及射线? =常数, 分划区域D 为
??k(k?1,2,,n)。则??f(x,y)d????f(rcos?,rsin?)rdrd?
DD特别地
??1(?)?r??2(?)若D:?,
????????2(?)1Dr??2(?)?o?r??1(?) 则有??Df(rcos?,rsin?)rdrd????d???(?)f(rcos?,rsin?)rdr r??2(?)9 / 11
??o 若D:??0?r??(?)
????????(?)则有??Df(rcos?,rsin?)rdrd????d??0?0?r??(?)若D:?
0???2??f(rcos?,rsin?)rdr r??(?)Do2?则有??Df(rcos?,rsin?)rdrd???0d??0【巩固拓展提高】
?(?)f(rcos?,rsin?)rdr 1．计算二重积分：??|1?x2?y2|d?,其中D:x2?y2?4.
D2．设D:x2?y2?1,x?0,y?0.计算二重积分：??ln(x2?y2?1)d?.
D9.4 二重积分的应用
【学习方法导引】
二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。几何应用之一是求曲线所围成的面积，应用之二是求曲面所围成的立体的体积；物理应用主要是平面薄片的质量。
【主要概念梳理】
(1) 空间立体的体积V
设空间立体?由曲面?1:z?f(x,y)与?2:z?g(x,y)所围成， ?在xoy面投影为平面区域D，并且f(x,y)?g(x,y).则
V???[f(x,y)?g(x,y)]d?或V????dv.
D? (2)曲面面积S
设光滑曲面?为?:z?z(x,y)，则S???1?zx2?zy2dxdy，其中Dxy为?Dxy在xoy面上的投影区域。
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同理可得：设光滑曲面?为?:x?x(y,z)，则S???1?xy2?xz2dydz，
Dyz其中Dyz为?在yoz面上的投影区域。
设光滑曲面?为?:y?y(x,z)，则S???1?yx2?yz2dxdz，其中Dxz为?Dxz在xoz面上的投影区域。 (3) 平面薄片的质量
设平面薄片的面密度为?(x,y)，物体所占区域为D，则它的质量为
m????(x,y)d?，其中dm??(x,y)d?,称为质量元素。
D
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高等数学重积分总结
