第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
学 习 目 标 1.掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数. (重点) 1.通过存在性定理的学习，培养逻辑推核 心 素 养 2．了解二分法是求方程近似解的常用理的素养． 方法，掌握二分法是求函数零点近似解2．通过二分法的学习，提升数据分析，的步骤．(难点) 数学建模的学科素养． 3．理解函数与方程之间的联系，并能3．理解函数与方程之间的联系，提升用函数与方程思想分析问题、解决问数学抽象的学科素养. 题．(重点、难点)
1．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且 f(a)f(b)＜0 (即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即?x0∈[a，b]，f(x0)＝0.
2．二分法的定义
(1)二分法的条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断且 f(a)f(b)＜0. (2)二分法的过程：通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．
3．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)在[a，b]上的零点近似值的步骤是： a＋b
第一步 检查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝2，计算结束；如果不成立，转到第二步．
1
a＋b?a＋b?
?＝0，取x1＝第二步 计算区间[a，b]的中点2对应的函数值，若f?
?2?a＋b?a＋b?
??≠0，转到第三步． ，计算结束；若f
2?2?
a＋b?a＋b??a＋b?
?＜0，将?用?，回第三步 若f(a)f?的值赋给b→b表示，下同22?2???a＋b?a＋b?
?f(b)＜0，将到第一步；若f?
2的值赋给a，回到第一步． ?2?
1．下列函数不宜用二分法求零点的是( ) A．f(x)＝x3－1 C．f(x)＝x2＋22x＋2
B．f(x)＝ln x＋3 D．f(x)＝－x2＋4x－1
C [因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．]
2．若函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间[a，b]上不可能有零点 B．函数f(x)在区间[a，b]上一定有零点
C．若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则必有f(a)·f(b)＜0 D．若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0
D [函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，如果f(a)·f(b)＜0，可知函数在(a，b)上有一个零点，
如果f(a)·f(b)＞0，可知函数在[a，b]上没有零点，
所以函数f(x)在区间[a，b]上可能没有零点，也可能有零点，所以A不正确； 函数f(x)在区间[a，b]上可能有零点，也可能没有零点；所以B不正确； 若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则可能f(a)·f(b)＜0，也可能f(a)·f(b)＝0所以C不正确；
若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0，正确；故选D.]
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3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( ) A．ε越大，零点的精确度越高 B．ε越大，零点的精确度越低 C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关
B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．] 4．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点； ②函数f(x)在区间(1,2)内有零点； ③函数f(x)在区间(0,2)内有零点； ④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．
④ [∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0.∴(0,4)上有零点．]
判断函数零点所在的区间 【例1】 求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解． [证明] 设f(x)＝x4－4x－2，其图像是连续曲线． 因为f(－1)＝3＞0，f(0)＝－2＜0，f(2)＝6＞0， 所以方程在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
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1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 C．若f(a)f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 D．若f(a)f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C [对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．]
对二分法概念的理解 【例2】 下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
B [利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]
二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性.对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可.
2．如图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区
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间，不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是( )
A．(－2.1，－1) B．(1.9,2.3) C．(4.1,5)
D．(5,6.1)
B [只有B中的区间所含零点是不变号零点．]
用二分法求函数零点 【例3】 求函数f(x)＝x2－5的负零点．(精确度为0.1) [解] 由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0， 故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间， 用二分法逐次计算，列表如下：
区间 (－3，－2) (－2.5，－2) (－2.25，－2) (－2.25，－2.125) 中点的值 中点函数近似值 －2.5 －2.25 －2.125 －2.187 5 1.25 0.062 5 －0.484 4 －0.214 8 －0.077 1 (－2.25，－2.187 5) －2.218 75 由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1， 所以函数的一个近似负零点可取－2.25.
利用二分法求函数零点应关注三点
?1?要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度
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广东省高中数学必修一第3章3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
