（1）当△BDE 是直角三角形时，求t的值；
（2）若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图1，当∠BED=90°时，△BDE是直角三角形，
则BE=t，AC+AD=2t， ∴BD=6+10-2t=16-2t， ∵∠BED=∠C=90°， ∴DE∥AC， ∴ ∴
， ，
∴DE= ， ∵sinB=
，
∴ t=
；
，
如图2，当∠EDB=90°时，△BDE是直角三角形，
则BE=t，BD=16-2t， cosB= ∴
， ，
∴t= ；
答：当△BDE是直角三角形时，t的值为 或
（2）解：①如图3，当0＜t≤3时，BE=t，CD=2t，CE=8-t，
∴S?CDEF=2S△CDE=2× ×2t×（8-t）=-2t2+16t，
如图4，当3＜t＜8时，BE=t，CE=8-t，过D作DH⊥BC，垂足为H，
∴DH∥AC， ∴ ∴ ∴DH=
，
， ，
∴S?CDEF=2S△CDE=2× ×CE×DH=CE×DH=（8-t）× ∴S于t的函数关系式为：当0＜t≤3时，S=-2t2+16t， 当3＜t＜8时，S= t2?
t+
；
= t2? t+
；
②存在，如图5，当?CDEF为菱形时，DH⊥CE，
由CD=DE得：CH=HE， BH=
∴BH=BE+EH， ∴ ∴t= ，
即当t= 时，?CDEF为菱形．
【解析】【分析】（1）因为 △BDE 是直角三角形有两种情况：
① 当∠BED=90°时， 可得 DE∥AC， 根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得
,于是可得比例式将DE
=t+
，
，BE=t，EH=
，
用含t的代数式表示，再根据 sinB= 可得关于t的方程，解方程即可求解； ② 当∠EDB=90°时，同理可求解；
（2）① 当0＜t≤3时， S?CDEF=2S△CDE 可得s与t的关系式； 当3＜t＜8时， 过D作DH⊥BC，垂足为H，根据 平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得
,于是可得比例式将DH用含t的代数式
表示，则 S?CDEF=2S△CDE 可得s与t的关系式； 当3＜t＜8时，同上；
② 存在，当?CDEF为菱形时，DH⊥CE， 根据BH=BE+EH可得关于t的方程， 解方程即可求解。
9．
（1）【发现】如图①，已知等边
，将直角三角形的
角顶点 任意放在
、
边
上（点 不与点 、 重合），使两边分别交线段 于点 、
.①若 ②求证：
，
，
，则
________；
.________
（2）【思考】若将图①中的三角板的顶点 在 个交点 、 都存在，连接 且 平分
边上移动，保持三角板与 、 平分
的两
，如图②所示.问点 是否存在某一位置，使
？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
中，
，点 为
边的中点，将三角形透明
于点 、
的周长
），使两条边分别交边 、 .设
，则
与
（3）【探索】如图③，在等腰 纸板的一个顶点放在点 处（其中 （点 、 均不与
的顶点重合），连接
之比为________（用含 的表达式表示）.∠BED+∠BDE=120°， ∴∠BED=∠CDF， 又∵∠B=∠C， ∴
【答案】（1）解：4；证明：∵∠EDF=60°，∠B=160°∴∠CDF+∠BDE=120°，
（2）解：解：存在。如图，作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别为M，G，N，
∵ 平分 且 平分
，
∴DM=DG=DN，
又∵∠B=∠C=60°，∠BMD=∠CND=90°， ∴△BDM?△CDN， ∴BD=CD，
即点D是BC的中点， ∴
。
（3）1-cosα
【解析】【解答】（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°，∵AE=4，∴BE=2，则BE=BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE=60°，又∵∠EDF=60°，∴∠CDF=180°-∠EDF-∠B=60°，则∠CDF =∠C=60°， ∴△CDF是等边三角形，∴CF=CD=BC-BD=6-2=4。
（ 3 ）连结AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别为G，D，H，
则∠BGO=∠CHO=90°， ∵AB=AC，O是BC的中点 ∴∠B=∠C，OB=OC， ∴△OBG?△OCH，
∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°?α， 则∠GOH=180°-（∠BOG+∠COH）=2α， ∵∠EOF=∠B=α， 则∠GOH=2∠EOF=2α，
由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=EG+FH（可通过半角旋转证明）， 则
=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，
设AB=m，则OB=mcosα，GB=mcos2α,
【分析】（1）①先求出BE的长度后发现BE=BD的，又∠B=60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE=60°，另外∠EDF=60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC-BD； ②证明
，这个模型可称为“一线三等角·相似模型”，根据“AA”判定相似；
（2）【思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM=DG=DN，从而通过证明△BDM?△CDN可得
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